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Unità di misura di Planck

Nella fisica delle particelle e nella cosmologia fisica, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

planck
Max Planck (23 aprile 1858 – 4 ottobre 1947) con Albert Einstein nel 1931

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l’origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano (ad esempio intensità luminosa (cd), flusso luminoso (lm), e dose equivalente (Sv) né qualsiasi qualità della terra o dell’universo (ad esempio gravità standard, atmosfera standard e costante di Hubble) né qualsiasi qualità di una data sostanza (ad esempio punto di fusione dell’acqua, densità dell’acqua e capacità termica specifica dell’acqua).

Le unità Planck sono solo un sistema di più sistemi di unità naturali, ma le unità Planck non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella (ad es. Carica elementare, massa di riposo dell’elettrone e massa di riposo del protone) (che sarebbe scelta arbitrariamente), ma piuttosto solo sulle proprietà dello spazio libero (ad esempio, La velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la ridotta costante di Planck, la resistenza di Planck è l’impedenza di spazio libero, l’entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutti sono proprietà dello spazio libero).

Le unità di Planck hanno significato per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche ricorrenti della legge fisica mediante la non dimensionalizzazione. Sono rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Proponiamoci di cercare un sistema di “unità naturali”, basati sulle tre principali grandezze fisiche, e cioè la costante di gravitazione universale G, bastione della Fisica Classica; la velocità della luce c, simbolo della Relatività Ristretta; ed ovviamente la costante di Planck h, o meglio la costante h tagliata pari ad h/2π, caratteristica della Meccanica Quantistica. Come determinare una “unità naturale di lunghezza”?

Fissiamoci sulle dimensioni fisiche di queste costanti. La costante di gravitazione G si misura in Newton per metro quadro su kilogrammo al quadrato, quindi:

[ G ] = [ N m2 / Kg2 ] = [ m3 Kg–1 s–2 ]

c è una velocità, per cui [ c ] = [ m s–1 ]. Quanto poi alla costante di Planck:

[ h ] = [ E / f ] = [ J / Hz ] = [ m2 Kg s–1 ]

Se vogliamo combinare queste tre grandezze in modo da ottenere una lunghezza, dovremo moltiplicarle dopo averle elevate ad opportuni esponenti:

Unità di misura di Planck 1          (1)

E quindi, per le equazioni dimensionali sopra scritte:

Unità di misura di Planck 2

Da cui:

Unità di misura di Planck 3

Se ne deduce che deve essere:

Unità di misura di Planck 4

Risolvendo il sistema si ottiene facilmente α = 1/2, β = – 3/2, γ = 1/2. Ne consegue che la nostra equazione dimensionale (1) assume la forma:

Unità di misura di Planck 5

Chiameremo questa lunghezza fondamentale con il nome di lunghezza di Planck lP. La precedente ci dice che la sua espressione è:

Unità di misura di Planck 6          (2)

ed essa vale lP = 1,616252 x 10–35 m. Analogamente si può introdurre una massa di Planck mP ed un tempo di Planck tP, partendo dalle equazioni dimensionali:

Unità di misura di Planck 7

Le espressioni che si ottengono con calcoli analoghi a quelli ora svolti sono le seguenti:

Unità di misura di Planck 8          (3)

Unità di misura di Planck 9          (4)

che valgono rispettivamente mP = 2,17644 x 10–8 kg e tP = 5,39124 × 10–44 s.

Se si esprimono i parametri fondamentali dell’universo in unità di Planck, saltano agli occhi alcune sorprese. Ad esempio, il numero 1061 esprime sia l’età dell’universo, sia la Costante di Hubble, sia la radice quadrata della Costante Cosmologica in unità tP, ma anche il diametro dell’universo in unità lP e la sua massa in unità mP.

Inoltre già Arthur Eddington aveva fatto notare che 1040 rappresenta ad un tempo il rapporto tra il raggio dell’universo e quello dell’elettrone, tra la forza elettrostatica e quella gravitazionale agente tra un elettrone e un protone, e la radice quadrata del numero di atomi dell’universo. Il reale significato di queste coincidenze numerologiche però ci sfugge, e forse ci sfuggirà per sempre.

Si potrebbero introdurre anche una temperatura di Planck e una carica elettrica di Planck, ma in tal caso bisogna introdurre nei calcoli altre due costanti fondamentali: la costante di Boltzmann KB e la costante dielettrica del vuoto ε0. Limitiamoci alle tre espresse dalle (2), (3) e (4), dette unità di Planck: esse danno vita a un sistema assoluto di unità di misura.

Come si verifica immediatamente, le unità di Planck sono completamente estranee alla fisica di ogni giorno: l’unità di lunghezza lP è dell’ordine dei 10–33 centimetri, e quindi è di 21 ordini di grandezza inferiore al diametro di un nucleo atomico; in altre parole, essa sta alle dimensioni nucleari come le dimensioni dell’uomo stanno a quelle della nostra galassia!

Ma allora, come possono esserci utili unità del genere? È presto spiegato. In meccanica quantistica si definisce lunghezza d’onda Compton di una particella la lunghezza d’onda di un fotone la cui energia è pari a quella della massa a riposo della particella. Usando il formalismo matematico, dovrà essere:

Unità di misura di Planck 10

da cui si ricava che la lunghezza d’onda Compton vale:

Unità di misura di Planck 11          (5)

Si può assegnare un limite inferiore alla lunghezza d’onda Compton (cioè un limite superiore all’energia di un fotone) se si impone un limite superiore alla massa m della particella. Possiamo pensare ad un limite superiore della massa di una particella quando questa raggiunge le dimensioni di un buco nero, all’interno del quale un fotone resta confinato dal campo gravitazionale. Ora, a meno del fattore 2, il raggio di Schwarzschild di un buco nero di massa m è:

Unità di misura di Planck 12

Ricaviamo m da quest’ultima dopo aver posto R = λ e sostituiamola nella (5). Si trova facilmente:

Unità di misura di Planck 13          (6)

La (6) coincide con la (2) a meno del fattore 2π nella costante di Planck ridotta. Risostituendo tale valore nella (5) si ottiene proprio l’espressione (3), sempre a meno del fattore 2π. Dunque la lunghezza di Planck è la misura del raggio dell’orizzonte degli eventi di una massa di Planck collassata in un buco nero!

In altre parole, ogni fotone avente una lunghezza d’onda pari alla lunghezza di Planck può materializzarsi in una particella abbastanza massiccia da diventare un buco nero (detto “buco nero di Planck”), tale da distorcere lo spazio-tempo fino al punto di inghiottire quel fotone.

Non possono quindi esistere lunghezze d’onda più piccole di così, perchè altrimenti la particella ottenuta dalla materializzazione del fotone non potrebbe nemmeno sussistere, essendo confinata per sempre all’interno del buco nero in cui essa è collassata! Grazie alla gravità quantistica abbiamo così trovato un limite inferiore per le lunghezze.

Questo si traduce ovviamente in un limite inferiore per i tempi, non appena si osserva che la (2) e la (4) sono legate tra di loro da questa semplice relazione:

Unità di misura di Planck 14

Il tempo di Planck è dunque quello impiegato dalla luce per coprire una lunghezza di Planck; non esistendo nulla che possa andare più veloce della luce, non ha senso pensare a tempi più brevi di tP.

Se non si può ragionare di distanze e tempo inferiori a quelli della scala di Planck, appare evidente che i concetti stessi di spazio e di tempo perdono di significato a quegli ordini di grandezza, e questo è considerato un indizio del fatto che la Meccanica Quantistica e la Relatività Generale non valgono più separatamente; a distanze paragonabili alla lunghezza di Planck quindi la gravità manifesta degli effetti quantistici.

Ci conferma però l’impossibilità di accedere sperimentalmente a queste distanze non solo la loro estrema piccolezza, ma anche un’altra considerazione, legata alla cosiddetta energia di Planck EP. Essa rappresenta l’energia equivalente alla massa di Planck secondo la famosa equazione di Einstein EP = mPc2. Si ottiene facilmente:

Unità di misura di Planck 15

Di qui si ricavano i 1019 GigaelettronVolt, indicandoli come l’energia alla quale avviene l’accoppiamento della gravità alle altre tre forze della natura. Come già accennato, però, per verificare sperimentalmente cosa accade a queste energie sarebbe necessario un acceleratore di particelle delle dimensioni della nostra Galassia.

Unità di Planck, significato

Le unità Planck sono prive di arbitrarietà antropocentrica . Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l’intelligenza extraterrestre dovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa. A differenza del metro e del secondo, che esistono come unità di base nel sistema SI per ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.

Mentre è vero che la forza repulsiva elettrostatica tra due protoni (solo nello spazio libero) supera di gran lunga la forza attrattiva gravitazionale tra gli stessi due protoni, non si tratta delle forze relative delle due forze fondamentali.

Dal punto di vista delle unità Planck, si tratta di confrontare le mele con le arance, poiché la massa e la carica elettrica sono quantità incommensurabili . Piuttosto, la disparità di grandezza della forza è una manifestazione del fatto che la carica sui protoni è approssimativamente la carica unitaria ma la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. P. S. Wesson, The application of dimensional analysis to cosmology, in Space Science Reviews, vol. 27, n. 2, 1980, p. 117, Bibcode:1980SSRv…27..109WDOI:10.1007/bf00212237.
  2. CODATA Value: speed of light in vacuum, su physics.nist.gov. URL consultato il 28 maggio 2019.
  3. Natural units- Babel of units, su arxiv.org.
  4. Universe
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