La trigonometria per i cieli

Le stelle e i pianeti non si muovono su una superficie piana ma sulla sfera celeste. Quindi la trigonometria piana ordinaria non è adeguata per descrivere il loro movimento. Ipparco ebbe un problema. L’astronomo del II secolo a.C. voleva quantificare i suoi modelli per i movimenti dei corpi celesti, specialmente il Sole e la Luna, in modo da poter prevedere con precisione le loro posizioni e quindi le eclissi. Per poter dire che il Sole si sarebbe trovato in un certo posto in un determinato momento, aveva bisogno di una trigonometria per i corpi che non si muovono su piani ma su superfici sferiche.

Gli studiosi non concordano su chi abbia inventato la trigonometria sferica. Potrebbe essere stato lo stesso Ipparco, a cui è attribuita l’invenzione della trigonometria planare. Forse era Menelao due secoli dopo, o anche Tolomeo mezzo secolo dopo. In ogni caso, la classica sintassi astronomica di Tolomeo sintassi contiene una trigonometria sferica completamente realizzata, che differiva dalla nostra in diversi modi. Ad esempio, la sua funzione di base era l’accordo di un arco circolare anziché il seno, che sarebbe stato inventato secoli dopo in India. Gli astronomi arabi che hanno giudicato il libro “maestoso” hanno dato all’opera il suo nome più noto, Almagest , molto dopo il suo aspetto nel 140 d.C.

Triangoli nello spazio curvo

Immagina che tu e un tuo amico vi troviate al polo nord di una sfera. Ognuno di voi si dirige su un trekking verso l’equatore, partendo lungo percorsi perpendicolari l’uno all’altro. Quando raggiungi l’equatore, entrambi ti giri l’uno verso l’altro e cammini finché non ti incontri. Come pannello a nella figura mostra, voi due avete ora formato un triangolo sferico con tre angoli retti, due sull’equatore e uno sul palo; la somma degli angoli non è di 180 ° come in un piano ma di 270 °. E quella somma non è la stessa per tutti i triangoli. Per un piccolo triangolo sferico, che sarebbe quasi piatto, la somma degli angoli è di poco superiore a 180 °. Per uno grande, la somma degli angoli può avvicinarsi a 540 °.

Trigonometria su una sfera
Trigonometria su una sfera. (a) Per un triangolo disegnato sulla superficie di una sfera, la somma degli angoli interni può variare da 180 ° a 540 °. In questo esempio, la somma è di 270 °. (b) Dato il periodo dell’anno, quanto è alto il Sole sopra l’equatore celeste (che si trova sullo stesso piano dell’equatore terrestre)? Il testo risponde alla domanda, con l’aiuto di questa costruzione. (c) In qualsiasi momento, il Sole è direttamente sopra un punto della Terra chiamato posizione geografica (GP). Misurando l’angolo del Sole rispetto all’orizzonte, il navigatore di una nave può determinare un cerchio (blu) su cui si trova la nave. Il testo descrive come Thomas Hubbard Sumner sia uscito dai guai usando quell’osservazione. (Sfondo: dettaglio della notte stellata, Edvard Munch, 1893.)

Esamina i lati del triangolo nel riquadro a e vedrai che sono tutti archi a 90 ° di grandi cerchi. E probabilmente hai fatto una transizione mentale cruciale: su una sfera, le lunghezze laterali sono misurate in gradi proprio come gli angoli. Usiamo questa comprensione per risolvere un problema astronomico rilevante oggi come lo era per Ipparco più di due millenni fa. Il pannello b mostra la geometria e definisce i termini che useremo.Gli archi bianchi audaci si trovano sulla superficie della sfera celeste, presi per avere il raggio unitario e il centro A; sottili linee colorate si trovano all’interno della sfera. Il Sole, F, viaggia lungo l’eclittica, che interseca l’equatore celeste (lo stesso piano dell’equatore terrestre) con un angolo ε = 23,4 °, lo stesso angolo che descrive l’inclinazione dell’asse terrestre rispetto al suo piano orbitale.

Gli archi GH e GC sono entrambi a 90 °, quindi anche CH equivale a ε . La longitudine del Sole, λ  = GF, determinata dal periodo dell’anno, dovrebbe darci informazioni sufficienti per calcolare l’altitudine del Sole sopra l’equatore, la declinazione δ  = FJ. Ma come? Ecco uno schizzo della prova; ulteriori dettagli sono forniti nella versione online di questo studio rapido.Considerando la sezione HAC, vediamo che l’angolo fatto dalle linee blu in A è uguale all’arco CH, che è ε . Poiché AC = 1, BC = sin  ε .

Allo stesso modo, osservando lo slice GAF si ottiene DF = sin  λ e lo slice JAF produce allo stesso modo EF = sin  δ . Ma i triangoli ABC e DEF sono simili. Pertanto, sin  δ / sin  λ  = sin  ε / 1, che è solo un altro modo per esprimere la formula di declinazione standard sin  δ  = sin  λ  · sin  ε .Oggi qualsiasi calcolatrice tascabile è in grado di gestire facilmente la formula della declinazione, ma prima della tecnologia del 20 ° secolo, gli astronomi lavoravano bene nella giornata eseguendo manualmente i calcoli della declinazione. Nel 1614 John Napier annunciò una soluzione alla difficoltà. Con i logaritmi introdotti nella sua Descrizione della Tabella dei logaritmi miracolosa, la laboriosa moltiplicazione dei seni nella formula della declinazione può essere espressa in termini di una somma più gestibile. Ulteriori informazioni sul libro di Nepero sono incluse online.

Dai cieli alla Terra

La trigonometria, sia piana che sferica, era destinata agli astronomi; L’astronomo del XV secolo Regiomontanus lo definì “il piede della scala verso le stelle”. Ma la trigonometria sferica ha influenzato anche le azioni di coloro che avevano preoccupazioni legate alla Terra. Le prime occasioni furono fornite da studiosi islamici medievali, che spesso avevano bisogno di astronomia per risolvere le richieste richieste dal rituale.

Gli esempi includevano la previsione dell’inizio del mese sacro del Ramadan, che è definito dall’emergere della mezzaluna lunare dal bagliore del Sole al tempo della luna nuova e la determinazione dei tempi delle cinque preghiere quotidiane, alcune delle quali richiedevano conoscenza dell’altitudine del sole. Inoltre, per pregare, un adoratore doveva affrontare la Mecca, un requisito che era anche un problema nella trigonometria sferica: Determina la posizione nel cielo del punto nella sfera celeste direttamente sopra la Mecca. Rilascia quel punto verso l’orizzonte e affrontalo in quella direzione. Una delle storie più drammatiche nella storia della matematica è l’avventura del 1837 di Thomas Hubbard Sumner. Partì dalla Carolina del Sud e tre settimane dopo dovette navigare attraverso il Canale di San Giorgio tra Galles e Irlanda. Tuttavia, il tempo misero e il cielo oscurato lo rendevano insicuro della sua posizione e rocce potenzialmente fatali attesero lungo le rive.

Le nuvole si separarono momentaneamente, il che gli diede una finestra sufficiente per misurare l’altitudine del Sole, 12 ° 10 ′ sopra l’orizzonte. Quindi, con la sua creatività forse acuita dalla posta in gioco della sopravvivenza, ragionò nel modo seguente: La raccolta di luoghi sulla superficie terrestre in cui il Sole si trova a una data altitudine forma un cerchio il cui centro è la posizione geografica del Sole, cioè il punto su la superficie direttamente sotto il Sole in un determinato momento (vedi pannello c).Tale cerchio è chiamato un piccolo cerchio, non perché è piccolo ma perché non è un grande cerchio. Nelle vicinanze di Sumner al largo della costa meridionale dell’Irlanda, il suo cerchio era in realtà estremamente grande, quasi una linea retta; i navigatori lo chiamano una linea di posizione. Per fortuna, la linea di posizione di Sumner passò attraverso il mare in direzione nord-est e quasi contattò il faro di Smalls al largo della costa del Galles in una regione ben tracciata. Sebbene Sumner non sapesse dove fosse sulla linea, tutto ciò che doveva fare era continuare a viaggiare lungo di essa.

Gli sarebbe stato assicurato alla fine di avvistare Smalls Lighthouse, e da lì avrebbe potuto navigare in sicurezza.Una variazione del geniale ragionamento di Sumner ti consente di individuare la tua posizione sulla Terra, indipendentemente da dove ti trovi. Se misurare l’altitudine di una stella determina la tua posizione su un piccolo cerchio sulla superficie terrestre, misurare l’altitudine di due corpi celesti ti colloca all’intersezione di una coppia di cerchi. I due cerchi si intersecano in due punti, uno dei quali è la tua posizione. Quasi sempre, quei due punti sono lontani l’uno dall’altro e se non riesci a capire se sei al largo della costa meridionale dell’Irlanda o della costa meridionale dell’India, hai problemi più grandi di quelli che la navigazione può risolvere.

Gli almanacchi nautici tabulano le posizioni di diverse dozzine di stelle di riferimento, il Sole e diversi pianeti, in modo da avere molti corpi celesti tra cui scegliere.In pratica, le moderne tecnologie come il GPS hanno reso obsolete le pratiche tradizionali di trigonometria sferica oltre che per gli appassionati. Ma stanno facendo almeno un piccolo ritorno. Alla US Naval Academy di Annapolis, nel Maryland, una delle ultime istituzioni a rinunciare all’insegnamento della trigonometria sferica negli anni ’60, gli ufficiali in addestramento vengono ora istruiti nella navigazione celeste. Il potenziale per i sistemi GPS di essere inceppati dai nemici nei momenti di conflitto può causare ai marinai minacciati di rivolgere gli occhi al cielo, non per chiedere aiuto ai poteri divini, ma per applicare l’antica ingegnosità per salvare se stessi e i loro compagni di bordo.

Triangoli simili nel pannello b: Nella dimostrazione della formula di declinazione, ho affermato che i triangoli ABC e DEF nel pannello b della figura sono simili. Sinistra non dichiarata era quel fatto che l’angolo ADF è un angolo retto. Qui giustifico queste affermazioni. Prima nota che sia B che E sono definiti facendo cadere le perpendicolari da un punto sull’eclittica al piano dell’equatore celeste. Di conseguenza, i triangoli ABC e DEF sono ad angolo retto. Poiché AGJH e AGFC sono quadranti, gli angoli GAH e GAC sono angoli retti. Pertanto, l’angolo BAC è ε , l’angolo necessario per ruotare la linea AH attorno all’asse perpendicolare AG sulla linea AC.

Accettando per il momento che GDF sia anche un angolo retto e dato che GDE è giusto per costruzione, anche l’angolo EDF è ε, l’angolo necessario per ruotare DE attorno all’asse perpendicolare AG sulla linea DF. I triangoli ad angolo retto ABC e DEF sono quindi simili. Un modo per vedere che GDF è davvero un angolo retto è guardare il tetraedro ADEF, tre delle cui facce sono manifestamente triangoli retti. Rispetto all’ADF della quarta faccia, AF 2 = AE 2 + EF 2 = (AD 2 + DE 2 ) + (DF 2 – DE 2 ) = AD 2 + DF 2 . Cioè, il triangolo ADF soddisfa il teorema di Pitagora, quindi deve anche essere un triangolo rettangolo con DF perpendicolare ad AG.

I logaritmi contano: La formula di declinazione sin δ = sin λ ⋅ sin ε mette in relazione la declinazione del Sole δ con la sua longitudine λ e l’inclinazione dell’asse terrestre ε . Il prodotto sin λ ⋅ sin ε coinvolge due quantità, ognuna delle quali di solito sono frazioni decimali lunghe. Il nobile scozzese John Napier, rendendosi conto di quanto sarebbe noioso dover moltiplicare ripetutamente tali numeri, annunciò una soluzione nella sua Descrizione del 1614 della Tavola dei Logaritmi Miracolosa . (La figura mostra la copertina del libro, per gentile concessione di Special Collections, Lehigh University Libraries, Bethlehem, Pennsylvania.) Con i logaritmi, la formula della declinazione si trasforma in log (sin δ ) = log (sin λ ) + log (sin ε ). Invece di moltiplicare i seni, tutto ciò che gli astronomi dovevano fare era aggiungere i loro logaritmi, il che è molto meno dispendioso in termini di tempo e di anima.

BIBLIOTECHE DELL'UNIVERSITÀ LEHIGH
BIBLIOTECHE DELL’UNIVERSITÀ LEHIGH

Ma Nepero ha fatto molto di più che inventare logaritmi. Include nel suo libro una raccolta sistematica di tutte e 10 le formule fondamentali di un triangolo rettangolo sferico. Sono indicati di seguito, con i vertici indicati da A, B e C e i lati opposti ai vertici rispettivamente di a, b e c, con C riservato per l’angolo retto ec per l’ipotenusa.

sin b = tan a ⋅ lettino Asin a = sin A ⋅ sin c
cos c = lettino A ⋅ lettino Bcos A = sin B ⋅ cos a
sin a = lettino B ⋅ abbronzatura bcos B = cos b ⋅ sin A
cos A = abbronzatura b ⋅ culla csin b = sin c ⋅ sin B
cos B = lettino c ⋅ tan acos c = cos a ⋅ cos b
Molte di quelle formule erano già ben note. Ad esempio, la formula della declinazione appare sotto mentite spoglie nella parte superiore della colonna di destra. La formula nella parte inferiore di quella colonna è l’equivalente sferico del teorema di Pitagora. Diversi grandi matematici del XVI secolo, tra cui Georg Rheticus e François Viète, conoscevano tutti i 10. Ma Napier riconobbe i numerosi schemi nella lista. Puoi individuarne qualcuno? Eccone uno. Scegli qualsiasi occorrenza della lettera b, leggi verso il basso e torna indietro nella parte superiore della colonna se raggiungi la parte inferiore. Ogni volta leggerai lo schema b, c, a, A, B. Ulteriori schemi aiutarono gli educatori del 17 ° secolo a progettare vari dispositivi per aiutare nella memorizzazione delle 10 formule.

Riferimenti e approfondimenti

  1. M. Vanvaerenbergh, P. Ifland, Navigazione della linea di posizione: Sumner e Saint-Hilaire, i due pilastri della moderna navigazione celeste , Illimitato (2003).
  2. G. Van Brummelen, The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry , Princeton U. Press (2009).
  3. G. Van Brummelen, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Sferical Trigonometry , Princeton U. Press (2013). 
  4. M. Blewitt, Navigazione celeste per i velisti , 13a edizione, rev. di A. Du Pont, Adlard Coles Nautical (2017). 

Lascia una recensione

avatar

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.

  Subscribe  
Notificami