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Relatività ristretta: semplice introduzione

Premesse alla relatività ristretta di Einstein

Per imparare la fisica ed in particolare la relatività ristretta di Einstein occorrono alcune premesse che fanno parte della fisica classica:

1) Che cos’è il principio di inerzia?

Il principio di inerzia fu enunciato per la prima volta da Galileo, poi fu ripreso da Newton ed oggi è noto come primo principio della dinamica (o prima legge di Newton):

se la somma vettoriale delle forze che agiscono su di un corpo è zero allora:

  • se il corpo è fermo, continua a rimanere fermo;
  • se il corpo è in movimento con velocità costante, continua a muoversi con velocità costante.

Se Marco è seduto su un treno che viaggia a velocità costante (v = cost) e poggia un bicchiere sul tavolino cosa osserverà? Dal suo sistema di riferimento (dal suo punto di vista) Marco osserverà che la somma delle forze che agiscono sul bicchiere è nulla e il bicchiere è fermo, così come previsto dal principio di inerzia.

Se Luca è seduta al bar della stazione (v = 0 m/s) e poggia un bicchiere sul tavolino cosa osserverà? Dal suo sistema di riferimento (dal suo punto di vista) Luca osserverà che la somma delle forze che agiscono sul bicchiere è nulla e il bicchiere è fermo, così come previsto dal principio di inerzia.

Perciò essere fermi o muoversi con velocità costante sono due situazioni che si equivalgono.

2) Che cos’è un sistema di riferimento inerziale?

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui vale il principio di inerzia.

Nell’esempio di prima entrambi i sistemi sono sistemi di riferimento inerziali.

In particolare possiamo affermare che: ogni sistema di riferimento fermo o in moto con velocità costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento inerziale. Inoltre, se un oggetto si muove con velocità costante in un sistema di riferimento inerziale, possiamo prendere un altro sistema di riferimento inerziale che si muove con la stessa velocità dell’oggetto e considerare l’oggetto fermo.

E’ per questo che non c’è differenza tra un sistema di riferimento inerziale fermo ed un sistema di riferimento inerziale in moto con velocità costante. Possiamo quindi affermare che un sistema di riferimento inerziale in quiete ed un sistema di riferimento inerziale in moto con velocità costante rispetto all’altro si equivalgono.

3) Cosa afferma la legge fondamentale della dinamica?

La legge fondamentale della dinamica o seconda legge di Newton afferma che se ad un oggetto di massa m applico una forza F esso si muoverà con un’accelerazione

a = F/m

la formula con cui è nota tale legge è:

F = m a

4) Trasformazioni galileiane e composizione delle velocità

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S’ perfettamente sovrapposti all’istante t = 0 s. Supponiamo che S’ si muova con velocità v rispetto ad S; dopo un certo intervallo di tempo t il sistema si sarà spostato di un tratto (v · t):

relatività ristretta

Un determinato fenomeno caratterizzato da x’, y’, z’ e t’ nel sistema di riferimento S’ (di colore blu),  sarà caratterizzato dalle seguenti coordinate nel sistema di riferimento S (di colore nero) note come trasformazioni galileiane:

  • t = t’
  • x = x’ + vt
  • y = y’
  • z = z’

A queste possiamo anche aggiungere la seguente:

m = m’ (concetto di massa assoluta)

Se nel sistema S’ ho un corpo in moto con velocità

v’1 = Δx’ / Δt’       (v’1 = dx’ / dt’)

che velocità avrà nel sistema S?

v1 = Δx / Δt

utilizzando le trasformazioni di Galileo (x = x’ + vt) troviamo che

v1 = Δ(x’ + vt) / Δt

poiché v = cost

v1 = Δx’/Δt’ + vΔt / Δt =>

v1 = v’1 + v

La precedente è nota come legge di composizione delle velocità.

5) Relatività galileiana ed il concetto di invariante

Supponiamo di osservare un moto con accelerazione a’1 (ad es. nel verso positivo delle x’) nel sistema S’ che si muove con velocità v = costante (ad es. nel verso delle x crescenti), quanto varrà l’accelerazione nel sistema S in quiete?

Sappiamo che:

a = dv1 /dt

Dalla legge di composizione delle velocità (v1 = v’1 + v) e ricordando che v = cost => dv/dt = 0 (e che t = t’):

a = dv1 /dt = d(v’1 + v)/dt = dv’1 /dt + dv/dt =>

=> a1 = dv’1 /dt = a’1

=> a1 = a’1

Se un corpo nel sistema S’ è soggetto ad una forza

F’= m’ a’1

nel sistema S sarà soggetto ad una forza:

F= m a1

e poiché

m = m’ e a1 = a’1

le forze nei due sistemi di riferimento inerziali sono uguali:

F= m a= m’ a’= F’1

Cioè la legge fondamentale della dinamica (F = m a) è invariante (ha la stessa forma) rispetto alle trasformazioni galileiane (la forma delle equazioni non dipende dal sistema di riferimento).

Due osservatori in due sistemi di riferimento inerziali misureranno quindi le stesse forze e le stesse accelerazioni.

Arriviamo dunque alla relatività galileiana (non riguarda i fenomeni elettromagnetici):

le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Per comprendere meglio tale concetto facciamo il seguente ragionamento.

Supponiamo di essere in un treno che viaggia a velocità costante e vediamo una persona seduta di fronte a noi, un bicchiere d’acqua e le chiavi di casa sul tavolino. Abbassiamo la tendina dei finestrini che ci fanno vedere all’esterno e ci addormentiamo.

Quando ci svegliamo ed apriamo gli occhi osserviamo la persona di fronte a noi che si è addormentata anche lei, il nostro bicchiere fermo sul nostro tavolino con l’acqua perfettamente ferma al suo interno; sbadatamente con la mano facciamo cadere le chiavi che erano sul tavolino che cadono a terra esattamente lungo la verticale.

Una persona cammina lungo il corridoio del treno con una valigia ed allora pensiamo di essere fermi alla stazione. Decidiamo di alzare la tendina del finestrino e ci accorgiamo invece che il treno sta viaggiando a velocità costante.

Un altro modo per esprimere la relatività galileiana è dunque il seguente: nessun esperimento eseguito all’interno di un dato sistema di riferimento può evidenziare il moto rettilineo uniforme dello stesso sistema.

L’invarianza delle leggi di Newton per le trasformazioni di Galileo costituisce la traduzione matematica del principio di relatività galileiana.

Cosa mise in dubbio il principio di relatività galileiana?

Nel 1873 vennero pubblicate le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico; esse però non sono invarianti per le trasformazioni di Galileo! Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della luce nel vuoto è c = 300 000 km/s.

Ma se mi muovessi con velocità v, secondo la legge di composizione delle velocità dovrei misurare una velocità della luce pari a c + v. Ma così non è! Per comprendere meglio perché con la luce non è valida la legge di composizione della velocità dobbiamo introdurre la teoria della relatività ristretta di Einstein.

Etere

Maxwell aveva determinato che le onde elettromagnetiche si propagano nel vuoto con una velocità c:

Relatività ristretta: semplice introduzione 1

Questa velocità coincideva con la velocità di propagazione della luce nel vuoto (1849: il fisico francese Fizeau misura una velocità c di circa 3 · 108 m/s) e quindi Maxwell dedusse che la luce fosse un’onda elettromagnetica.

Poiché nella seconda metà dell’ottocento vi era una visione meccanicistica dei fenomeni naturali, vi era l’esigenza di individuare un mezzo meccanico che potesse entrare in vibrazione e trasportare questa onda. Poiché la luce che dal Sole giunge sulla Terra attraverso lo spazio vuoto, questo mezzo non può essere l’aria.

Inoltre, poiché ε0 e μ0 sono costanti universali (indipendenti dal sistema di riferimento inerziale considerato), la velocità c deve essere la stessa indipendentemente dal moto del sistema di riferimento. Ciò è però in contraddizione con la legge di composizione delle velocità di Galileo.

Per risolvere questa contraddizione e per la visione meccanicistica dei fenomeni naturali si ipotizzo l’esistenza di un mezzo di propagazione chiamato etere che avesse le seguenti caratteristiche:

  • inodore;
  • insapore;
  • incolore;
  • impalpabile;
  • imponderabile (non ponderabile: il suo peso è tanto esiguo che non si può valutare con i comuni mezzi);
  • pervade tutto lo spazio.

Inoltre doveva essere l’unica cosa dell’universo priva di movimento e perciò era un sistema di riferimento inerziale privilegiato (sistema di riferimento inerziale assoluto).

Si pensava quindi che soltanto in questo sistema di riferimento in quiete (rispetto al Sole e alle altre stelle) la luce viaggiasse alla velocità c; in altri sistemi di riferimento continua a valere la legge di composizione delle velocità di Galileo.

Chiunque avesse una velocità rispetto all’etere avrebbe dovuto misurare una velocità della luce diversa da c. E’ la stessa cosa che avviene per l’effetto Doppler per le onde sonore dove la velocità del suono è di circa 340 m/s rispetto all’aria (che rappresenta il mezzo che trasporta l’onda sonora).

Se l’osservatore o la sorgente è in moto rispetto all’aria, la frequenza percepita dall’osservatore è diversa. Nel caso della luce il riferimento non è l’aria ma l’etere.

Dopo aver accettato l’esistenza dell’etere, bisognava dimostrarne l’esistenza tramite un esperimento noto come esperimento di Michelson e Morley. L’esperimento si basa sul seguente concetto:

  1. la luce nel sistema di riferimento etere viaggia al velocità c;
  2. se ho un sistema di riferimento in moto con velocità v rispetto all’etere (ad esempio la Terra), la luce viaggerà a velocità c’ ≠ c;
  3. se misuro c’ ed è diversa da c, avremo dimostrato l’esistenza dell’etere.

Prima di passare all’esperimento di Michelson e Morley, facciamo la seguente osservazione (fisica classica). Consideriamo un sistema di riferimento inerziale fisso S solidale con l’etere (la velocità della luce è c) ed un sistema di riferimento inerziale S’ che si muove a velocità costante v (la velocità della luce è c’).

Inizialmente O e O’ coincidono. Inviamo un raggio di luce lungo la stessa direzione e lo stesso verso di v. Sia Δt il tempo impiegato dal raggio di luce per percorrere il tratto OP = cΔt. In questo stesso intervallo di tempo il sistema di riferimento S’ si è spostato verso destra di un tratto vΔt. Perciò la luce ha percorso O’P = c’Δt.

Relatività ristretta: semplice introduzione 2

OP = OO’ + O’P => cΔt = vΔt + c’Δt => c = v + c’ => c’ = c – v (velocità della luce misurate nel sistema di riferimento S’).

Si osservi che da una misura di c’ nel sistema S’ si potrebbe dedurre la velocità v del sistema S’ rispetto all’etere. Se questo sistema S’ fosse la Terra, la velocità v sarebbe la velocità della Terra rispetto all’etere. Il moto della Terra rispetto all’etere si manifesta come il moto (con verso opposto) dell’etere rispetto alla Terra noto come “vento d’etere“.

La velocità della luce misurata nel sistema di riferimento Terra è c – v quando si è controvento (cioè quando la luce ha lo stesso verso della velocità della Terra) e c + v quando si propaga con vento a favore (cioè quando la luce ha verso opposto alla velocità della Terra). Dove v è la velocità della Terra di circa 3 · 104 m/s.

ESPERIMENTO DI MICHELSON E MORLEY

Michelson realizzo in Germania il primo esperimento esplicitamente finalizzato a verificare l’influenza del moto della Terra, rispetto all’etere, sulla velocità della luce. Nel 1887 ripeté l’esperimento con il connazionale Morley. Lo strumento ottico utilizzato è l’interferometro:

  • una lastra di marmo galleggia dentro una vasca piena di mercurio in modo che il sistema possa essere orientato facilmente;
  • una sorgente S emette un fascio luminoso che giunge su un vetro M semitrasparente (semiargentato) che divide il raggio incidente in due;
  • il raggio che attraversa M raggiunge lo specchio M’, viene riflesso, torna verso M e lo riflette su uno schermo;
  • il raggio che viene riflesso da M raggiunge lo specchio M”, viene riflesso, torna verso M e lo attraversa fino a raggiungere lo stesso schermo;
  • i due raggi si sovrappongono e formano una figura di interferenza sullo schermo.
relatività ristretta

Indichiamo con d le distanze MM’ e MM” e supponiamo che l’interferometro (la Terra) si stia muovendo con velocità v come in figura. Il tempo t’ impiegato per percorrere il tratto d = MM’ è

relatività ristretta

Per il calcolo del tempo nel tratto MM” bisogna considerare che lo specchio si sta muovendo verso destra e quindi il percorso effettivo (percorso dei raggi visto nel sistema di riferimento dell’etere) è un triangolo

Relatività ristretta: semplice introduzione 3

relatività ristretta

La differenza di questi tempi t” – t’ dovrebbe produrre, durante la rotazione dell’interferometro, uno spostamento delle frange di interferenza. Ruotando il dispositivo di 90° si aspettavano uno spostamento di frange di

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Dove 2d è la somma delle lunghezze dei due bracci dell’interferometro che, grazie ad un sistema di riflessioni multiple, superava i 20 m. Poiché il rapporto v2/c2 è dell’ordine di 10-8 era necessario avere uno strumento di misura che avesse un’incertezza relativa di 10-8.

Questo spostamento si basa sull’aver ritenuto valide le equazioni di Maxwell e le trasformazioni galileiane. L’esperimento venne ripetuto sia di giorno che di notte (per tener conto della rotazione terrestre) e in diversi periodi dell’anno (per tener conto del moto di rivoluzione terrestre).

Ma Michelson e Morley non registrarono alcuno spostamento di frange e quindi non riuscirono a misurare la velocità v della Terra rispetto all’etere (non venne rilevata alcuna velocità della Terra rispetto all’etere). Dal 1887 al 1905 si è cercati di salvare questa teoria dell’etere.

INTERPRETAZIONE DELL’ESPERIMENTO DI MICHELSON E MORLEY

Prima di passare alle varie ipotesi, descriviamo brevemente il fenomeno dell’aberrazione spaziale dovuta all’astronomo inglese Bradley (1727): per osservare la luce di una stella occorre inclinare il telescopio di un angolo pari a 20,5’’ dovuto al moto relativo della terrà rispetto all’etere.

relatività ristretta

Nel 1817 Fresnel aveva previsto che la luce potesse essere parzialmente trascinata da un mezzo (ad esempio l’acqua) in movimento. Per verificare quest’ipotesi Fizeau fece nel 1851 un esperimento interferometrico e dimostrò che l’etere non veniva trascinato dall’acqua.

relatività ristretta

Vediamo alcune delle tante ipotesi a giustificazione dell’esperimento di Michelson e Morley.

IPOTESI DEL TRASCINAMENTO DELL’ETERE (IPOTESI DI STOKES): ipotizza che l’etere fosse un mezzo viscoso e pertanto la Terra poteva trascinarlo. Perciò, essendo l’etere fermo rispetto alla Terra, la misura della velocità della Terra rispetto all’etere dava un risultato nullo. Questa ipotesi è però in contrasto sia con il fenomeno dell’aberrazione stellare (che si spiega con il moto della Terra rispetto all’etere) che con l’esperimento di Fizeau.

IPOTESI DELLE TEORIE EMISSIVE: la velocità della luce è c non rispetto all’etere ma rispetto alla sorgente che la emette. Tale ipotesi è però in contrasto con il fatto che sarebbe l’unica onda ad avere una velocità di propagazione che non fa riferimento al mezzo di propagazione.

Contraddice l’esperimento di De Sitter sulle stelle che ruotano una intorno all’altra (stelle binarie) perché se fosse vera tale ipotesi si vedrebbe una deformazione dell’orbita di questo sistema. Infine, è un’ipotesi in contraddizione con gli esperimenti simili a quello di Michelson e Morley fatti con la luce proveniente dalle stelle (e non solidali con la Terra) che conducevano comunque a risultati nulli.

IPOTESI DI LORENTZ: Tra le diverse ipotesi a giustificazione del fallimento di una misura della velocità della Terra rispetto all’etere vi è quella del 1893 di Lorentz. Secondo l’ipotesi di Lorentz il vento d’etere causerebbe un mutamento dell’intensità delle forze elettromagnetiche che mantengono coeso un corpo e ciò causerebbe una variazione delle dimensioni del corpo allineate con la velocità del vento d’etere. Lorentz dimostrò matematicamente che un corpo di lunghezza x in moto con velocità v rispetto all’etere subisce una variazione di tale dimensione:

x’ = γ(x – vt)
dove γ è il fattore di Lorentz.

Relatività ristretta: semplice introduzione 5

Il problema di tale teoria è che non è verificabile sperimentalmente perché si contraggono sia gli oggetti che gli strumenti di misura.

Secondo tale teoria, i bracci dell’interferometro subiscono una contrazione nella direzione della velocità v rispetto all’etere rendendo diverse le lunghezze dei bracci dell’interferometro; ciò compensava la diversa velocità della luce lungo le due direzioni perpendicolari e non consentiva di rilevare la velocità della terra rispetto all’etere.

Secondo Lorentz, dall’esperimento di Michelson e Morley, si doveva trarre la seguente conclusione: il valore della velocità della luce è c soltanto nei sistemi di riferimento in quiete rispetto all’etere; in tutti gli altri sistemi inerziali l’effetto del vento d’etere altera le convenzionali misure di lunghezze in modo da rendere le variazioni di c del tutto inosservabili.

Lorentz introdusse anche il concetto di tempo locale come artificio matematico, privo di un significato fisico: detto t il tempo misurato nel sistema di riferimento S dell’etere, egli associò ad un dato sistema inerziale S’, in moto rispetto a S, una coordinata temporale t’ che chiamò tempo locale:

Relatività ristretta: semplice introduzione 5

Le trasformazioni delle coordinate spaziali e temporali di due sistemi inerziali in moto relativo (ad esempio lungo l’asse delle ascisse) prendono il nome di trasformazioni di Lorentz:

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relatività ristretta

Per le coordinate x e t in funzione di x’ e t’ è sufficiente cambiare il segno – del numeratore con il +.
Per valori di v << c le trasformazioni di Lorentz diventano semplicemente:

relatività ristretta

Consideriamo un segnale luminoso nel sistema xyz lungo l’asse delle x:

x = c t

Qual è la relazione fra x’ e t’ nel sistema x’y’z’? Applicando le trasformazioni di Lorentz troviamo:

relatività ristretta

Quest’ultima rappresenta la legge di propagazione della luce nel sistema x’y’z’, che si muove ancora con velocità c. Inoltre tale legge si presenta nella stessa semplice forma di x = c t cioè tale legge è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz.

Nel 1904 lo scienziato francese Poincaré estendeva il principio di relatività (cioè l’equivalenza di tutti i sistemi inerziali) anche ai fenomeni elettromagnetici. Le equazioni di Maxwell, che racchiudono le conoscenze sui fenomeni elettrici e magnetici, risultano invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz sono un puro artificio matematico per rendere le equazioni di Maxwell invarianti rispetto al sistema di riferimento.

FISICA: introduzione alla relatività ristretta, esperimento di Michelson e Morley

COME NASCE LA TEORIA DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA DI EINSTEIN

L’introduzione delle ipotesi a giustificazione dei risultati di Michelson e Morley rendeva conto della fenomenologia sperimentale ma andavano contro altri fenomeni; cioè se si utilizzava l’etere non si riusciva a trovare un modo per salvare i risultati di tutti gli esperimenti.

Il fallimento dei tentativi di salvare questa teoria dell’etere indusse Einstein ad introdurre i suoi due postulati di relatività nella sua opera del 1905 Einstein sull’elettrodinamica dei corpi in movimento. Einstein si sofferma sull’interazione tra un magnete ed un conduttore (un circuito). Nell’interpretazione di Maxwell l’avvicinare un circuito ad un magnete o l’avvicinare un magnete ad un circuito rappresentano due interpretazioni differenti.

Nel caso della spira in moto (flusso tagliato) rispetto al magnete, gli elettroni del circuito sono in moto rispetto al campo magnetico e quindi la forza di Lorentz spinge gli elettroni (F = qv x B) e genera la corrente indotta. Nel caso di un magnete che si muove verso un circuito fisso (flusso concatenato), poiché la v del conduttore e quindi delle cariche è zero allora la forza di Lorentz è zero.

Quindi ci si aspetta assenza di corrente ed invece si registra lo stesso valore di corrente del caso di flusso tagliato. Questa corrente si spiega introducendo la legge fisica di Faraday-Lenz. Secondo Maxwell nel caso del flusso tagliato il conduttore è in moto rispetto all’etere ed il magnete è fermo (rispetto all’etere); nel caso di flusso concatenato ho il magnete in moto rispetto all’etere ed il circuito fermo.

E’ una situazione simile a quella dell’effetto Doppler dove si distinguono due casi: sorgente in moto ed osservatore fermo rispetto all’aria (cioè rispetto al sistema in cui si propaga l’onda), sorgente ferma ed osservatore in moto rispetto all’aria. Secondo Maxwell il flusso tagliato ed il flusso concatenato sono due fenomeni distinti proprio come lo sono sorgente in moto/osservatore fermo e sorgente ferma/osservatore in movimento nell’effetto Doppler.

Non si tratta dello stesso fenomeno osservato da due sistemi di riferimento inerziali diversi perché ciò che li distingue è la presenza dell’etere, così come lo è la presenza dell’aria nell’effetto Doppler. Inoltre, la relatività galileiana (tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti per i fenomeni meccanici) vale sono per i fenomeni meccanici e non per quelli elettromagnetici.

C’è quindi un’asimmetria che non c’è nel fenomeno (i risultati sono gli stessi).

Con il primo postulato, Einstein estende la validità della relatività galileiana a tutti i fenomeni fisici: le leggi della fisica sono le stesse (hanno la stessa forma) in tutti i sistemi di riferimento inerziali (equivalenza delle leggi fisiche). Cioè qualunque sistema di riferimento inerziale è equivalente per la descrizione di qualunque fenomeno fisico.

Perciò Einstein abbandona l’idea dell’esistenza di un sistema di riferimento privilegiato rispetto agli altri cioè abbandona l’idea dell’etere. Con Maxwell, il flusso tagliato e il flusso concatenato sono due fenomeni diversi perché in un caso c’era un circuito in moto rispetto all’etere e nell’altro caso un magnete in moto rispetto all’etere.

Con Einstein, non essendoci un sistema di riferimento privilegiato, i due fenomeni sono in realtà lo stesso fenomeno ma visto da due punti di riferimento diversi: non è il fenomeno a cambiare ma semplicemente il sistema di riferimento e poiché le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali allora si tratta dello stesso fenomeno. Eliminando l’ipotesi dell’etere i due fenomeni rappresentano lo stesso fenomeno.

Si noti che nel caso dell’effetto Doppler non è possibile eliminare l’aria perché non ci sarebbe la propagazione dell’onda; poiché nell’effetto Doppler non può essere tolta l’aria, i due fenomeni (sorgente in moto/osservatore fermo e sorgente ferma/osservatore in moto rispetto all’aria) sono due fenomeni distinti. (Nel caso dell’effetto doppler relativistico, sorgente in moto ed osservatore in moto hanno la stessa formula.)

Nel secondo postulato della relatività ristretta si ha l’invarianza della velocità della luce: la velocità della luce nel vuoto c è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Il fatto che questo principio vada contro la nostra esperienza quotidiana lo rende difficile da accettare.

L’effetto di questi due principi è il superamento delle trasformazioni galileiane con quelle di Lorentz. Queste trasformazioni sono note come trasformazioni di Lorentz (anche se le ipotesi di Lorentz non erano verificabili sperimentalmente) anche se Einstein le ritrova partendo dai suoi due postulati ed in maniera indipendente da Lorentz.

Il fattore di Lorentz ci fa comprendere del perché non riusciamo a vedere facilmente questi fenomeni. Le trasformazioni di Lorentz hanno la caratteristica di diventare le trasformazioni di Galileo per v << c.

Tra le conseguenze delle trasformazioni di Lorentz vi è anche l’abbandono del concetto di tempo che scorre in maniera uniforme in tutti i sistemi di riferimento (dilatazione dei tempi), la contrazione delle lunghezze e la simultaneità degli eventi. La differenza tra la teoria di Lorentz e la teoria di Einstein consiste nel fatto che queste ultime possono essere verificate sperimentalmente.

EINSTEIN

Nel 1905, all’età di ventisei anni, Einstein era a conoscenza sulla giustificazione di Lorentz relativamente all’esperimento di Michelson e Morley, ma non era a conoscenza delle trasformazioni di Lorentz. Nel suo articolo sulla giustificazione “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”, considerando il fallimento di tutti i tentativi di individuare il vento d’etere, affermava che l’etere non era necessario per far propagare un’onda elettromagnetica.

Einstein riprende il concetto di campo introdotto da Faraday per cui la presenza di cariche elettriche e di magneti altera lo spazio circostante e questa condizione perturbata dello spazio, chiamato campo, si manifesta sotto forma di forze agenti sulle altre cariche (o magneti) eventualmente presenti. Il campo va inteso come perturbazione dello spazio indipendentemente dalla presenza o meno di corpi che ne avvertono gli effetti.

Perciò le onde elettromagnetiche, e quindi anche la luce, non avevano bisogno di alcun substrato (come l’etere) per esistere perché potevano essere pensate come oscillazioni dei campi elettrici e magnetici (e non dell’etere) in grado di propagarsi anche nel vuoto. In questo modo tramonta l’era del meccanicismo cioè l’idea che tutti i fenomeni fisici dovessero essere spiegati in termini di oggetti materiali.

Teoria della relatività ristretta di Einstein

All’età di 16 anni Einstein si è imbattuto nel seguente paradosso: se, nel vuoto, un uomo potesse inseguire un raggio luminoso alla sua stessa velocità, la luce gli apparirebbe ferma. Ma le equazioni di Maxwell non prevedono l’esistenza della luce ferma e quindi deve essere valida una sola delle seguenti possibilità:

  • le equazioni di Maxwell sono sbagliate;
  • è impossibile che un corpo materiale possa viaggiare alla velocità della luce.

Per la fisica newtoniana era possibile raggiungere qualunque velocità. Dopo 10 anni, all’età di 26 anni Einstein pubblica nel 1905 la sua teoria della relatività ristretta. Questa teoria si basa su due postulati (dal latino postulatum = ciò che è richiesto; verità fondamentali della natura; proposizioni che, senza essere preventivamente dimostrate, vengono assunte vere):

  1. EQUIVALENZA DELLE LEGGI FISICHE: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali;
  2. LA VELOCITÀ DELLA LUCE NEL VUOTO E’ COSTANTE: la velocità della luce nel vuoto è finita ed è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali ed è indipendente dal moto della sorgente della luce e dal moto dell’osservatore. Nel vuoto la velocità della luce è c = 3 · 108 m/s.
Relatività ristretta: semplice introduzione 8

In parole semplici il primo postulato afferma che: un esperimento di meccanica, di termodinamica, di elettromagnetismo svolto su un sistema di riferimento inerziale (ad es. la Terra) avviene nello stesso modo e fornisce gli stessi risultati dello stesso esperimento svolto su un jet a velocità costante (ad es. di 1000 km/h).

relatività ristrettaIl secondo postulato mette in parte in crisi la legge di composizione delle velocità e quindi le trasformazioni galileiane. Per comprendere meglio il secondo postulato facciamo il seguente esempio:
se un osservatore a terra vede un raggio di luce muoversi a velocità c, un osservatore su un aereo che viaggia ad altissima velocità vedrebbe lo stesso raggio di luce muoversi a velocità c.

Per il secondo postulato della teoria della relatività ristretta di Einstein entrambi hanno ragione. Se ciò è vero vuol dire che il tempo e lo spazio non sono assoluti ma relativi. In particolare, se la velocità considerata è << c (molto minore di c) le leggi della fisica classica e le trasformazioni di Galileo sono ancora valide, ma se la velocità è paragonabile a quella della luce allora dobbiamo considerare che lo spazio e il tempo non sono assoluti ed infatti si parla di dilatazione dei tempi e di contrazione delle lunghezze; in particolare per l’osservatore sull’aereo il tempo scorre più lentamente.

Dilatazione dei tempi: orologio a luce

Consideriamo un orologio a luce in posizione fissa (v = 0):

relatività ristretta: orologio a luce

Indichiamo con Δt0 l’intervallo di tempo impiegato dall’orologio in posizione fissa per compiere un battito di orologio cioè per percorrere la distanza 2d (per andare dalla sorgente allo specchio e tornare indietro):

Δt0 = 2d / c

Consideriamo un orologio a luce identico al precedente ma posto sull’aereo più veloce che attualmente esiste e che si sposti alla velocità v:

relatività ristretta

Indichiamo con Δt l’intervallo di tempo impiegato dall’orologio sull’aereo per compiere un battito di orologio cioè per andare dalla sorgente allo specchio e tornare indietro; questa volta però poiché l’orologio a luce si muove con velocità v, in ogni tratto non percorrerà più uno spazio d ma l’ipotenusa di un triangolo rettangolo (sia all’andata che al ritorno). Dalla figura precedente ricaviamo quindi:

relatività ristretta: dilatazione del tempo

Poiché

2d / c = Δt0

sostituendo troviamo che :

dilatazione del tempo3

La precedente relazione vale per ogni tipo di orologio e non solo per l’orologio a luce.
La seguente quantità si chiama fattore di Lorentz:

Relatività ristretta: semplice introduzione 9

Se disegniamo il fattore di Lorentz in funzione della velocità v otteniamo:

relatività ristretta

Il rapporto v/c viene anche indicato con il simbolo β:

Relatività ristretta: semplice introduzione 10

Dalla relazione dei tempi possiamo osservare che per:

  • v = 0 m/s: γ = 1 e Δt = Δt0
  • v →c: γ → +∞ e Δt = γ Δt0 → +∞

Quindi per velocità v << c (molto minore di c) il tempo è lo stesso sia in un sistema di riferimento in quiete che in un sistema di riferimento in moto con velocità v.

Per velocità prossime alla velocità della luce (per v che tende a c) il tempo impiegato per un battito di orologio tende ad infinito. Vediamo alcuni esempi:

Δt= 1 s, v = 0,5 c => Δt = 1,15 s
Δt= 1 s, v = 0,9 c => Δt = 2,29 s
Δt= 1 s, v = 0,95 c => Δt = 3,20 s
Δt= 1 s, v = 0,99 c => Δt = 7,09 s
Δt= 1 s, v = 0,999 c => Δt = 22,37 s
Δt= 1 s, v = 0,9999 c => Δt = 70,71 s

La dilatazione del tempo nella teoria della relatività ristretta di Einstein (cioè il rallentamento dell’orologio per un osservatore in moto con velocità v confrontabile con quella della luce) influenza anche il nostro orologio biologico. Se un gemello astronauta viaggia ad alta velocità invecchierà più lentamente del suo fratello gemello rimasto sulla Terra nonostante per l’astronauta il tempo sembra scorrere nello stesso modo (paradosso dei gemelli).

La dilatazione (il rallentamento) del tempo non è soltanto una teoria ma è stato osservato sperimentalmente con il tempo di vita media di una particella (muone) che viaggia ad una velocità v = 0,9992 c.

Simultaneità degli eventi

La dilatazione del tempo ha anche come conseguenza che la simultaneità degli eventi non si conserva nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro in moto rispetto al primo.

Prima di vedere un esempio che spiega meglio questo concetto, diciamo che due eventi (ad es. due fulmini che cadono in due punti diversi) sono simultanei se un osservatore che sta al centro vede i fulmini contemporaneamente.

Vediamo un esempio sulla simultaneità degli eventi: consideriamo un treno composto da una sola carrozza che sta passando ad alta velocità v davanti ad una stazione in cui vi è un osservatore fermo:

relatività ristretta

L’osservatore in stazione vedrà simultaneamente la punta B e la coda A del treno colpiti da due fulmini, cioè la scintilla in B e la scintilla in A arriveranno contemporaneamente agli occhi dell’osservatore in stazione.

Cosa succede all’osservatore sul treno che si trova nel punto O’ e che si muove ad alta velocità v? Poiché la velocità della luce non è infinita (secondo postulato di Einstein) mentre la scintilla che scocca in B’ percorre il tratto B’O’, l’osservatore si avvicina al punto B’ con velocità v; mentre la scintilla che scocca in A’ percorre il tratto A’O’, l’osservatore si allontana da A’. Quindi l’osservatore O’ vedrà prima l’evento in B’ e poi in A’.

Se il treno viaggiasse con la stessa velocità v ma in verso opposto, lo stesso osservatore vedrebbe prima l’evento in A’ e poi quello in B’.

Possiamo concludere che il concetto di “simultaneità”, di “prima” e di “dopo” sono concetti relativi, cioè il tempo non è assoluto ma relativo.

Contrazione delle lunghezze

Anche le lunghezze, come il tempo, non sono le stesse per un osservatore fermo ed un osservatore in moto con velocità v prossima a quella della luce.  Il disaccordo della simultaneità di due eventi comporta anche un disaccordo sulle misure di lunghezza.

Per comprendere la contrazione delle lunghezze consideriamo un orologio a luce disposto orizzontalmente (vedi figura) di lunghezza d0:

orologio a luce orizzontale3

Come abbiamo già detto:

Δt0 = 2d0 /c

Supponiamo che tale orologio si muova ad un’alta velocità v:

orologio a luce orizzontale

Vogliamo trovare d.

Quando il raggio parte dalla sorgente impiegherà un tempo di andata Δta prima di colpire lo specchio. In questo intervallo di tempo Δta l’orologio si sarà spostato di un tratto vΔta e quindi complessivamente lo spazio percorso dalla luce è

da = d + v Δta

sappiamo anche che

da = c Δta

Uguagliando:

c Δta = d + v Δta

Perciò

Δta = d/(c-v)

Quando il raggio torna indietro impiegherà un tempo di ritorno Δtr prima di colpire lo specchio dove è la sorgente. In questo intervallo di tempo Δtr l’orologio si sarà spostato di un tratto vΔtr e quindi complessivamente lo spazio percorso dalla luce è

dr = d – v Δtr

sappiamo anche che

dr = c Δtr

Uguagliando:

c Δtr = d – v Δtr

Perciò

Δtr = d/(c+v)

Il tempo totale impiegato è quindi:

Δt = Δta + Δtr

contrazione lunghezze

Confrontando questa formula con quella relativa alla dilatazione dei tempi (la riscriviamo per facilitare il confronto)

dilatazione del tempo3

uguagliando i due Δt:

formula contrazione lunghezze

che rappresenta la contrazione delle lunghezze.

La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi sono collegate tra loro.

Dalla precedente possiamo osservare che:

  • per v = 0 m/s: d = d0
  • per v →c: d → 0

Il termine teoria della relatività ristretta è dovuta al fatto che tale teoria è ristretta ai sistemi inerziali cioè non accelerati.

FISICA: Relatività ristretta: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze, parte 1

FISICA: Relatività ristretta: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze, parte 2

Che cos’è la massa relativistica?

All’età di 16 anni Eistein giunse al seguente paradosso: se un uomo potesse inseguire un raggio luminoso nel vuoto alla sua stessa velocità, la luce gli apparirebbe ferma! Ma le equazioni di Maxwell non prevedevano la possibilità di avere una luce ferma.

Perciò o non è possibile che la luce fosse ferma o le equazioni di Maxwell erano sbagliate. Entrambe le possibilità sembravano assurde e per questo si parla di paradosso. Poiché le equazioni di Maxwell erano ormai accettate come note, Einstein concluse: la velocità della luce è un limite invalicabile.

Einstein, in maniera indipendente da Lorentz, ritrovò le famose trasformazioni di Lorentz cioè delle relazioni tra le coordinate spaziali e temporali di due generici sistemi di riferimento inerziali in moto relativo:

trasformazioni di Lorentz

Tale trasformazioni vanno a sostituire le trasformazioni galileiane viste nell’articolo premesse alla relatività ristretta di Einstein.

Queste trasformazioni rappresentano matematicamente la teoria della relatività ristretta di Einstein che viene espressa in questo modo:

le leggi della natura sono invarianti nel passaggio da un sistema di riferimento ad un altro mediante le trasformazioni di Lorentz.

Vediamo un esempio che ci fa meglio comprendere la frase scritta sopra. Consideriamo la seguente legge:

x = c · t

e dimostriamo che è invariante per le trasformazioni di Lorentz:

relatività ristretta

relatività ristretta

x’ = c · t’

Ha la stessa forma, è invariante per le trasformazioni di Lorentz.

Le leggi di Maxwell risultano invarianti per le trasformazioni di Lorentz, mentre le leggi di Newton no! Perciò le leggi di Newton andavano riformulate anche perché la legge F = m·a prevede che se ad una massa m applico una forza costante essa accelera indefinitamente superando la velocità della luce, cosa che abbiamo detto non è possibile (secondo postulato di Einstein).

La seconda legge della dinamica va quindi riformulata in quanto la massa dell’oggetto non dipende dal moto dell’oggetto. Einstein fu dunque portato a cambiare la nozione di massa che non è più la “quantità di materia” del corpo ma è solo l’inerzia al moto:

massa relativistica

dove m0 è la massa a riposo (v = 0 m/s) e v è la velocità della massa m.

Osserviamo che se v → c allora m → . Perciò una forza costante genererebbe un’accelerazione via via minore. Da ciò deduciamo anche che un oggetto di massa finita non può mai raggiungere la velocità della luce.

Quantità di moto relativistica ed energia relativistica

Naturalmente cambiando la massa cambiano le grandezze legate a lei e perciò cambia l’espressione della quantità di moto che diventa:

quantità di moto relativistica

Se su un corpo di massa m compiamo un certo lavoro ci saranno due effetti:

  • una parte di questo lavoro aumenterà la sua velocità;
  • l’altra parte del lavoro aumenterà la sua massa.

Da ciò possiamo dedurre che la massa è un altro tipo di forma di energia. Einstein dimostrò che quando un corpo di massa m è in moto con velocità v la sua energia è data da:

E=mc2

Per v = 0 m/s l’energia non si annulla ma diventa l’energia a riposo:

energia a riposo

Si può osservare che c è una velocità molto alta e c2 lo è ancora di più, quindi anche ad una piccola quantità di massa è associata una grande energia.

Einstein era giunto alla conclusione che se un corpo assorbe o cede una quantità di energia E di qualsiasi genere, allora esso acquista o perde una quantità di massa pari ad E/c2. Per ragioni di simmetria, doveva sussistere anche la proprietà inversa e cioè ogni massa possiede energia. Tale equivalenza fu tradotta da Einstein in una delle equazioni più famose al mondo:

E = m c2

Nel 1907 Einstein affermò: ogni massa possiede energia e le conferme a tale affermazione si ebbero con le reazioni nucleari.

Energia cinetica relativistica

Considerando che un corpo di massa m0 a riposo ha un’energia E = m0 c2, la stessa massa a velocità v avrà un’energia pari a

E = m0 c2 + K

dove K è l’energia cinetica. Poiché sappiamo che

energia

Uguagliando le ultime due formule dell’energia si trova l’espressione dell’energia cinetica relativistica:

relatività ristretta

Osservazione: Il concetto più profondo che sta dietro alla teoria della relatività ristretta di Einstein non risiede nella relatività di alcune grandezze come lo spazio e il tempo ma nel fatto che i diversi risultati delle misure condotte in diversi sistemi di riferimento possano essere correlati tra di loro in modo da giungere a leggi fisiche assolute indipendenti dal sistema di riferimento.

Gli esperti più che di relatività parlano di assoluto per mettere in risalto l’aspetto invariantivo delle leggi della natura (rispetto alle trasformazioni di Lorentz).

Legge di composizione relativistica delle velocità

sistemi di riferimento inerziali

Supponiamo di avere due sistemi di riferimento O e O’, inizialmente coincidenti. Supponiamo che all’istante t = 0 il sistema di riferimento O’ si muove con velocità V lungo l’asse delle x. Consideriamo un corpo che si muove con velocità v’ nel sistema di riferimento O’

relatività ristretta

Nel sistema di riferimento O avremo:

relatività ristretta

Ricordiamo le trasformazioni di Lorentz

trasformate di Lorentz

Dalle trasformazioni di Lorentz si comprende come spazio e tempo non possono essere separati. Un evento (qualcosa che accade in un punto dello spazio in un dato istante di tempo) avviene in uno spazio a 4 dimensioni (x, y, z, t) detto spazio-tempo.
Ricaviamo:

relatività ristretta

Analogamente:

relatività ristretta

Di conseguenza:

relatività ristretta

Moltiplico e divido per Δt’:

relatività ristretta

nota come legge di composizione relativistica delle velocità.

Se v’ << c:

v = v’ + V

cioè la composizione galileiana delle velocità.

Se v’ = c:

relatività ristretta

cioè la velocità della luce è c in entrambi i sistemi di riferimento inerziali.

FISICA: relatività ristretta, legge di composizione delle velocità

Massa relativistica e seconda legge della dinamica

Dalla composizione relativistica delle velocità

relatività ristretta

abbiamo che comunque si compongono due velocità v’ e V minori o uguali a c, si ottiene comunque una velocità risultante minore o uguale a c. Perciò

la velocità c della luce nel vuoto è una velocità limite

non superabile.

Tale limite lo si può identificare anche nel fattore di Lorentz:

relatività ristretta

Proviamo a disegnare il grafico di γ in funzione della velocità v. Il dominio della funzione è il radicando maggiore di zero:

relatività ristretta

Di conseguenza:

relatività ristretta

Considerando il modulo della velocità v:

relatività ristretta
relatività ristretta

Anche in questo caso la velocità della luce è un limite verso cui possono tendere le velocità degli oggetti materiali (senza raggiungerla).

La seconda legge della dinamica classica è in contraddizione con tale limite invalicabile. Dalla fisica classica sappiamo infatti che se ad un corpo di massa m applichiamo una forza F esso accelera:

a = F/m

Di conseguenza

Δv = F/m Δt

Secondo la fisica classica, applicando una forza per un tempo sufficientemente lungo è possibile raggiungere qualunque velocità (anche superiore a c).

Per ovviare a questo problema c’è un’unica possibilità, la massa m non è una quantità costante ma aumenta con l’aumentare della velocità. Se indichiamo con m0 la massa misurata da un osservatore rispetto al quale la massa è ferma (massa a riposo), la massa m per un osservatore in moto (rettilineo uniforme) con velocità v rispetto al primo sarà m = γ m0:

relatività ristretta
relatività ristretta

Poiché per v -> c si ha che m -> +∞ => Δv -> 0.

Vediamo quindi come diventa la seconda legge della dinamica partendo dal teorema dell’impulso:

F dt = dp => F dt = d(mv) => F dt = d( γ m0 v)

m0 è costante

F = m0 d( γ v)/dt

Poiché

d(f g)/dt = df/dt g + f dg/dt

F = m0 v dγ/dt + γ m0 dv/dt

Ma la derivata della velocità rispetto al tempo è l’accelerazione:

F = m0 v dγ/dt + γ m0 a

Naturalmente anche la quantità di moto relativistica sarà diversa da quella classica:

p = m v => p = γm0 v

Equivalenza massa energia

E = mc2

Dal teorema dell’impulso sappiamo che una forza F applicata per un tempo Δt genera una variazione della quantità di moto:

F = Δp/Δt = Δ(m v)/Δt => F = Δ(m v)/Δt    (1)

Sappiamo anche che il lavoro della forza applicata per un tratto Δx produce una variazione di energia cinetica:

Δx = ΔK (2)

Sostituendo l’espressione della forza (1) nella (2):

Δ(m v) Δx/Δt = ΔK

Poiché Δx/Δt = v:

Δ(m v) v = ΔK (3)

Poiché applicando la forza F la massa m accelera (varia la sua velocità) la massa varia m = γ m0 (con γ fattore di Lorentz).

Prima dell’applicazione della forza abbiamo: m v.

Dopo l’applicazione della forza abbiamo: (m + Δm)(v + Δv).

Perciò la (3) diventa:

[(m + Δm)(v + Δv) – mv] v = ΔK

Trascurando il termine Δm · Δv si ottiene:

m v Δv = ΔK – vΔm (5)

Lavoriamo ora con la massa relativistica per determinare un’altra espressione di m v Δv da confrontare con la (5).

Sappiamo che la massa relativistica è data da:

relatività ristretta

Elevando entrambi i membri al quadrato, facendo il minimo comune multiplo e moltiplicando entrambi i membri per (c– v2) si ottiene:

m(c– v2) = m0c2 (6)

Dopo l’applicazione della forza F la massa diventa m + Δm e la velocità v + Δv; perciò la (6) diventa:

(m + Δm)[c–  (v + Δv)] = m0c2 (7)

Sviluppando i quadrati, trascurando i termini Δm2, Δv2 e Δm Δv, la (7) diventa:

m2 (c2 – v2) – 2m2 vΔv + 2m c2Δm – 2m v2Δm = m0c2 (8)

Sottraendo la (6) dalla (8) si ottiene:

– 2m2 vΔv + 2m c2Δm – 2m v2Δm = 0

Dividendo tutto per -2m:

m v Δv – cΔm + v2Δm = 0

Da cui:

m v Δv = cΔm – v2Δm (9)

Confrontando la (5) e la (9) si ottiene:

ΔK – vΔm = cΔm – v2Δm => ΔK = cΔm  

e se la velocità iniziale è 0 (cioè Ki = 0):

K = c(m- m0(10)

Osserviamo, dividendo entrambi i membri per c2:

K/c2 = m – m0

che essendo l’energia cinetica e cquantità positive, m – m0 è positivo (cioè all’aumentare della velocità aumenta la massa).

Eliminando le parentesi dalla (10):

K = mc– mc(11)

dove E0 = mc2 è detta energia a riposo.

Se indichiamo con E l’energia totale (energia cinetica K + energia a riposo E0):

E = K + m0c= m c

possiamo scrivere la famosa formula:

E = m c (12)

Questa formula è nota anche come equivalenza massa energia. Se un corpo di massa m acquista energia ΔE, la sua massa aumenta di una quantità

Δm = ΔE/c2

Viceversa, se c’è una variazione di massa Δm si ha una variazione di energia

ΔE = Δm c

Questa equivalenza massa energia, conseguenza della teoria della relatività ristretta, è confermata da vari esperimenti. In reazioni che determinano un difetto di massa si ottiene energia (la massa mancante si è trasformata in energia) e viceversa.

Mentre prima della relatività ristretta esisteva il principio di conservazione della massa e il principio di conservazione dell’energia, oggi si parla di conservazione massa – energia.

La quantità E0 = m0c2 è detta energia a riposo (cioè per v = 0) ed è indipendente dal sistema di riferimento. Questa formula afferma che una massa, anche se a riposo, possiede un’energia molto grande perché è direttamente proporzionale al quadrato della velocità della luce.

Una piccola parentesi sul fotone.

Per Einstein la luce è costituita da pacchetti di energia detti fotoni. Il fotone è privo di massa a riposo e l’energia totale è solo cinetica. Dalla (12):

E = mc · c

Poiché il prodotto massa per velocità (m c) rappresenta la quantità di moto (p):

E = p c

Poiché il fotone possiede energia allora possiede una quantità di moto:

p = E/c (quantità di moto del fotone)

Quando il fotone interagisce con la materia può quindi trasferire la sua quantità di moto (in un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva).

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. FISICA E DINTORNI Vincenzo Costa
  2. A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper in Annalen der Physik 17 (1905), pp. 891–921, trad. it. Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento, in A. Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino, 1988, pp. 148–177
  3. A. Einstein, Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie (gemeinverständlich), Vieweg, Braunschweig 1917, trad. it. Relatività: esposizione divulgativa, in A. Einstein, Opere scelte, a cura di E. Bellone, Bollati Boringhieri, Torino, 1988, pp. 389-504
  4. A. Einstein, a cura di P. A. Schillp, Albert Einstein: Philosopher-Scientist, The Library of Living Philosophers, Evanston (Ill.), 1949, trad. it. A. Einstein et al., Autobiografia scientifica, Bollati Boringhieri, 1979 (riduzione)
  5. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992): Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity, 2nd ed., W. H. Freeman & Co., ISBN 0-7167-2326-3
  6. Anadijiban Das (1996): The Special Theory of Relativity: A Mathematical Approach, Springer, ISBN 0-387-94042-1
  7. V. Barone, Relatività. Principi e applicazioni, Bollati Boringhieri, ISBN 9788833957579
  8. Relatività ristretta, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  9. Dur Elektrodynamik bewegter Körper Il testo originale dell’articolo pubblicato da Einstein nel 1905 sugli Annalen der Physik
  10. L’elettrodinamica dei corpi in movimento Archiviato il 7 ottobre 2011 in Internet Archive. Traduzione in italiano dell’articolo pubblicato da Einstein nel 1905
  11. Corso di relatività ristretta di Bruno Touschek
  12. Animation demonstrating the theory of relativity, su youtube.com.
  13. A Special Relativity Simulator, su adamauton.com.
  14. Universe
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