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Principio di equivalenza in relatività generale

Il viaggio di Einstein verso la Relatività Speciale iniziò da una semplice domanda:

Che implicazioni si avrebbero se la velocità della luce fosse la stessa per tutti gli osservatori?

L’inizio del suo lungo e tortuoso viaggio verso la Relatività Generale è iniziato con un’osservazione altrettanto semplice: in un campo gravitazionale e in assenza di resistenza dell’aria, tutte le cose cadono a terra alla stessa accelerazione, indipendentemente dalla loro massa.

Il principio di equivalenza debole

Formulato in un modo più preciso, Einstein assunse la corrispondenza tra massa inerziale, che appare in F = ma di Newton e descrive quanto sia difficile accelerare un oggetto e la massa gravitazionale, che descrive la forza con cui agisce la gravità (cioè la cosiddetta versione debole del principio di equivalenza.

La massa inerziale, cioè la proprietà intrinseca del corpo materiale di opporsi alle variazioni di moto, e la massa gravitazionale, che rappresenta la proprietà di un corpo di essere sorgente e di subire l’influsso di un campo gravitazionale, sono numericamente uguali

In realtà, se abbiamo un oggetto con masse inerziali e gravitazionali m e M rispettivamente, e se l’unica forza che agisce sull’oggetto proviene da un campo gravitazionale g  combinando la seconda legge di Newton e la legge gravitazionale dà l’accelerazione

e se postuliamo m = M ne segue che a = g.

Loránd Eötvös
Loránd Eötvös

Dopo Galileo una conferma più precisa dell’uguaglianza delle due masse venne dal fisico austro-ungarico Loránd Eötvös ( ordine di precisione 5 × 10 -9 ).

Misurò la torsione su un filo sotto l’accelerazione della gravità e la rotazione della Terra. L’idea era che se due corpi fossero fissati alle estremità opposte di una barra sospesa al centro da un filo sottile e se abbiamo una massa inerziale non equa ma una massa gravitazionale equivalente allora l’attrazione della terra sarebbe la stessa per entrambe ma le correzioni dell’accelerazione sarebbero diverse: quindi l’asta ruoterà.

Attualmente come pietra fondamentale della Relatività General, il Principio di Equivalenza debole è stato sondato nello spazio fino all’ordine 10 -15 dalla missione satellitare MICROSCOPE di ONERA e CNES. Vale la pena sottolineare che l’osservazione di una deviazione dell’universalità della caduta libera implicherebbe che la descrizione puramente geometrica della gravità di Einstein debba essere completata o modificata.

principio di equivalenza
Schema sintetico di tutti i test di WEP per tutto il 20 ° secolo

Prima dell’avvento della relatività generale, la legge di gravitazione universale di Newton era stata accettata per oltre duecento anni come una valida descrizione della forza gravitazionale tra le masse, anche se lo stesso Newton non considerava la teoria come la teoria finale della gravità.

Tuttavia la teoria classica di Newton soffriva di due importanti incongruenze:

  • Non era in grado di predire il tasso anomalo di precessione del perielio dell’orbita di Mercurio che fu riconosciuto per la prima volta nel 1859 come problema nella meccanica celeste da Urbain Le Verrier.
  • Era incompatibile con il postulato della Relatività Speciale che imponeva un limite di velocità cosmica natural, la velocità della luce, perché nella teoria di Newton la forza gravitazionale agisce istantaneamente a qualsiasi distanza.
Urbain Jean Joseph Le Verrier
Urbain Jean Joseph Le Verrier

Dall’ultimo punto di vista la Relatività Generale potrebbe essere vista come un tentativo di riconciliazione tra gravità e relatività speciale. Einstein impiegò non meno di otto anni di duro lavoro concettuale e matematico  prima di riuscire a risolvere queste difficoltà.

Il primo passo fu quello di postulare il Principio di Equivalenza introdotto nel 1907 nel lungo articolo di revisione su Relativity commissionato dall’editore del Jahrbuch der Radioaktivität.

La relatività generale è la teoria che Einstein sviluppò a partire dal 1907 per incorporare il campo gravitazionale nell’ambito della relatività speciale, che il suo autore presentò nella sua versione finale all’Accademia delle Scienze di Prussia il 25 novembre 1915 nell’articolo The Field Equations of Gravitazion.

Il principio di equivalenza forte

In un campo gravitazionale qualsiasi, è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento, nell’intorno di ogni punto, dove gli effetti dell’accelerazione dovuti al campo gravitazionale sono nulli

Più o meno allo stesso modo in cui la teoria della relatività speciale fondava i sui due postulati di costanza della velocità della luce e invarianza delle leggi fisiche, Einstein basò la sua teoria della relatività generale su due postulati fondamentali:

  • Il principio di equivalenza che pone l’equivalenza di gravità e accelerazione, un principio ben noto che è stato prima testato da Galileo confrontando i periodi di pendoli con pesi fatti da materiali diversi permette di “spegnere” localmente l’effetto della gravità.
  • Il principio di covarianza che estende il principio di relatività per dire che la forma delle leggi della fisica dovrebbe essere la stessa in tutti i sistemi inerziali e in accelerazione.

Il principio è detto di equivalenza perché in esso un osservatore solidale con le masse in moto non è in grado di distinguere un’accelerazione dovuta a una forza esterna da quella prodotta da un campo gravitazionale. La differenza è visibile solo da un sistema di riferimento non solidale con le masse in moto.

principio di equivalenza
L’ascensore di Einstein: nel primo caso l’ascensore è in quiete sulla Terra; nel secondo subisce un’accelerazione verso l’alto.

Per illustrare questo principio, Einstein fece l’esempio di un ascensore: l’esperimento mentale è quello di immaginare un ascensore spaziale che trasporta l’osservatore e altri oggetti pesanti. Se l’ascensore è spinto da una forza esterna, l’osservatore e gli oggetti sentiranno un’accelerazione e inizieranno a muoversi verso l’alto o verso il basso. Analogamente, in presenza di un campo gravitazionale fuori dall’ascensore, le loro masse saranno spinte in qualche direzione, esattamente come accade quando sono accelerate da una forza esterna. Dall’interno dell’ascensore, l’osservatore non può stabilire se al di fuori ci sia una forza che esercita una pressione, o una massa in quiete che lo attrae.

Si scopre che questa accelerazione relativa potrebbe essere interpretata come la curvatura dello spaziotempo e quindi il risultato finale della relatività generale di Einstein è un’equazione nota come equazione di Einstein in grado di quantificare esattamente quanta distorsione ci dovrebbe essere in presenza di materia ed energia.

La formulazione matematica del principio di equivalenza e l’interpretazione del campo gravitazionale sono strettamente interconnesse. Per dirla in breve, ciò che Newton chiama gravitazione si chiama curvatura dello spaziotempo di Einstein e il cuore del lavoro di Einstein fu quello di trovare la relazione corretta sotto forma di A = kB dove A descrive la curvatura dello spaziotempo e B sulla mano destra descrive la fonte di energia di massa di questa curvatura.

Nel suo articolo del 1916 The Foundation of the Generalized Theory of Relativity, usando soluzioni approssimate delle sue equazioni, Einstein propose tre test di relatività generale che non erano previsti dalla teoria della gravità di Newton ben osservabili nel sistema solare:

  • Il redshift gravitazionale
  • La deflessione della luce da parte del Sole
  • La precessione del perielio di Mercurio

Queste tre predizioni furono confermate da esperimenti e ogni volta che le previsioni di Einstein risultavano diverse dalle idee della meccanica newtoniana, la Natura scelse sempre Einstein: lo spazio-tempo cessa di essere assoluto, non statico come previsto dalla visione newtoniana,diventa invece una struttura dinamica deformata dalla presenza di massa e energia.

Pertanto un secolo dopo la sua pubblicazione, la Relatività Generale si è affermata come la descrizione teorica standard della gravità con applicazioni che vanno dalla dinamica del sistema solare al regno delle galassie e dell’universo primordiale.

Principi di equivalenza

Anche se Einstein predisse l’esistenza di onde gravitazionali dalle equazioni della relatività generale era convinto che fossero troppo deboli per avere un significato fisico e che non sarebbero mai state scoperte.
Lo stesso Einstein credeva inoltre nell’esistenza dei buchi neri: cercò di dimostrarlo in un articolo pubblicato nel 1939 nella rivista Annals of Mathematic su un sistema a molti corpi a simmetria sferica.

Riferimenti e approfondimenti

  1. Gravitation – Charles W. Misner
  2. Lev Davidovich Landau, E. M. Lifshits, Teoria dei campi, Editori Riuniti, 2004.

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