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Meccanica quantistica: teoria del corpo nero

Tutti i fenomeni legati all’ottica ed alla teoria del campo elettromagnetico sono inquadrabili in quella che va sotto il nome di Fisica Classica. Verso la fine del XIX ed al principio del XX secolo, tuttavia, vennero effettuati alcuni importanti esperimenti, i quali misero in luce l’impossibilità da parte della Fisica Classica di spiegare tutti i fenomeni della natura, contrariamente a quanto speravano i filosofi positivisti dell’ottocento.

Per questo divenne indispensabile elaborare una teoria più generale e completamente innovativa, e cioè la Teoria dei Quanti. Questi fenomeni sono essenzialmente quattro:

  1. La radiazione di corpo nero;
  2. L’effetto fotoelettrico;
  3. Gli spettri di emissione degli atomi;
  4. L’effetto Compton.

In questo articolo discuteremo del primo fenomeno, mentre agli altri dedicheremo nuovi articolo.

Teoria del corpo nero

Si dice corpo nero un corpo che assorbe completamente qualunque radiazione ricevuta. Ogni corpo, una volta riscaldato, emette radiazioni elettromagnetiche, il cui spettro (cioè l’insieme delle loro frequenze) dipende fondamentalmente dalla natura del corpo preso in esame.

È infatti esperienza quotidiana il fatto che, arroventando un corpo, esso si riscalda e comincia ad emettere una radiazione che varia dal rosso scuro al rosso brillante, per giungere al giallo e al bianco man mano che la temperatura sale: non a caso si parla di “calor bianco”. Del resto, il termine italiano “arroventare” deriva dal latino “ruber”, “rosso”, e anche il termine “incandescente” deriva dal latino “candesco”, cioè “divento bianco” (la stessa radice etimologica di “candido”).

Dal colore del metallo dentro un forno è allora possibile risalire alla temperatura da esso raggiunta: tale tecnica è detta pirometria.

In realtà, l’emissione di un corpo caldo non può essere e non è esclusivamente luminosa. Al di sotto di poche centinaia di Kelvin, l’emissione è esclusivamente infrarossa; ciò spiega perchè si può “vedere anche al buio”, usando un visore sensibile ai raggi infrarossi.

Questa radiazione infrarossa è quella che fa sì che un corpo termicamente isolato (per quel che riguarda la conduzione e la convezione) raggiunga rapidamente la condizione di equilibrio termico con l’ambiente, come ho spiegato nell’ipertesto “La pentola di Papin”, dedicato alla Termodinamica.

Ecco perché, per effettuare esperimenti a temperature assai basse, superiori soli di pochi Kelvin allo zero assoluto, è necessario schermare termicamente le strutture dalle radiazioni infrarosse nel laboratorio.

Le leggi che governano la distribuzione spaziale della radiazione termica sono state sostanzialmente ottenute proprio dall’analisi della radiazione emessa da un corpo nero. Un modo molto semplice per schematizzare un corpo nero è quello di usare una cavità nella quale la radiazione è in equilibrio termico con le pareti, le quali cioè mediamente emettono tanta radiazione quanta ne assorbono.

Un buon modello di corpo nero è una bottiglia affumicata dal collo molto stretto: la radiazione che la colpisce sulla superficie esterna colorata di nero viene immediatamente assorbita, mentre quella che attraversa la sua imboccatura è rapidamente assorbita dalla superficie interna perchè, riflettendosi innumerevoli volte, ha scarsa probabilità di trovare la strada per fuoriuscire, e viene completamente assorbita prima di riuscirci.

corpo nero
Corpo nero

Tutti noi nella nostra vita abbiamo avuto l’occasione di osservare questo fenomeno con i nostri occhi. Infatti, una chiesa si comporta proprio come un corpo nero! Se non ci credete, osservate la foto sottostante: in una giornata di sole il portale spalancato di una chiesetta di Castano Primo, non lontano da dove abita l’autore di questo ipertesto, ci mostra il suo interno completamente nero.

La spiegazione è molto semplice: tutti i raggi di luce che penetrano nella chiesa attraverso il portale sono assorbiti dalle pareti interne, prima che riescano a ritrovare la strada per fuoriuscire all’esterno! E lo stesso può dirsi per le finestre di una casa, o per l’interno di un container, osservati in una giornata soleggiata.

Quando si dice: la Fisica è dappertutto, intorno a noi. Per studiare l’emissione di corpo nero occorrerà fare uso di alcuni strumenti dell’Analisi Matematica. Chiamiamo dunque u(f,T) df la densità di energia per unità di volume associata, a temperatura T, ad una radiazione di corpo nero con frequenza compresa tra f e f + df.

Se rappresentiamo l’intensità della radiazione emessa, ci accorgiamo che lo spettro è continuo, e presenta un massimo per una certa frequenza fmax, che aumenta all’aumentare della temperatura. In particolare, la lunghezza d’onda λmax corrispondente a questa frequenza massima è data dalla legge dello spostamento, detta anche legge di Wien, elaborata nel 1893 dal fisico tedesco Wilhelm Wien (1864-1928):

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 1        (2.1)

dove b è la costante di Wien:

b = 2,898 x 103 m K

Per esempio, nel caso del nostro Sole si osserva che il massimo di emissione si osserva sulla frequenza di 625 milioni di MHz, che corrisponde ad una lunghezza d’onda di:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 2

cioè di 480 nanometri. La legge di Wien ci permette allora di ricavare la temperatura superficiale del nostro Sole:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 3

Sia detta P(f,T) df l’energia trasportata da un fascio di onde elettromagnetiche attraverso un elemento di area unitaria, perpendicolarmente alla direzione di propagazione del fascio stesso, per unità di superficie e di angolo solido. La relazione tra u e P dentro la cavità è:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 4

Se misuro P in uscita dal foro, posso risalire facilmente ad u. Integrando l’espressione di P(f,T) su tutte le frequenze e su tutti gli angoli solidi, si ottiene infatti l’energia totale della radiazione E, la cui espressione è molto semplice:

E = σ T4        (2.2)

dove σ è detta costante di Stefan-Boltzmann:

σ = 5,67 x 10–8 W m–2 K–4

La legge ora ricavata è detta legge di Stefan-Boltzmann, e fu trovata per via empirica nel 1879 dallo sloveno Josef Stefan (1835-1893) e dall’austriaco Ludwig Boltzmann (1844-1906).

radiazione di corpo nero
Radiazione di corpo nero

Come si può vedere dal diagramma qui sopra, l’intensità della radiazione emessa dal corpo nero, cioè P(f,T), misurata sperimentalmente, diminuisce sia per le alte che per le basse frequenze. Se però si tenta di interpretare questo comportamento alla luce dell’elettromagnetismo classico, sintetizzato nelle quattro Equazioni di Maxwell, si trovano risultati in netto contrasto con l’esperienza.

Sfruttando l’elettrodinamica classica, ed ipotizzando che tutte le molecole della cavità siano oscillatori armonici, simili a piccolissime cariche elettriche collegate agli atomi mediante molle, John William Strutt, terzo Baron di Rayleigh (1842-1919) e Sir James Hopwood Jeans (1877-1946) elaborarono la seguente formula, detta Legge di Rayleigh e Jeans:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 5

che, come mostra il digramma seguente, è in accordo con l’esperienza solo a basse frequenze:

corpo nero

Infatti, se integriamo la Legge di Rayleigh e Jeans su tutte le frequenze, otteniamo paradossalmente un risultato infinito. Ciò significa che l’intensità dovrebbe crescere indefinitamente all’aumentare della frequenza.

Se ciò fosse vero, accadrebbe quella che è nota con il termine di catastrofe ultravioletta: termine drammatico che esprime il paradosso in base al quale anche un comune forno domestico, se scaldato ad oltranza, diventerebbe una pericolosissima sorgente di raggi ultravioletti, che vengono subito dopo il violetto nello spettro elettromagnetico; e per temperature via via crescenti, anche di terribili raggi X e raggi gamma!

Nessuno però è mai morto per essersi dimenticato acceso il forno in cucina. Evidentemente, nella Fisica Classica qualcosa non andava: la pretesa ottocentesca di aver in mano la chiave per interpretare ogni fenomeno dell’universo naufragò miseramente di fronte alla radiazione emessa da una cavità surriscaldata.

Questa impotenza concettuale fu definita da Lord Kelvin « la nuvola nera che oscurava il cielo della Fisica »! Eppure, storicamente sono state proprio le “gambe zoppicanti” delle teorie fisiche credute perfette infallibili, a permettere di compiere le più straordinarie rivoluzioni della storia della conoscenza umana!

Legge di Planck

La soluzione della mancata catastrofe ultravioletta fu ottenuta per la prima volta dal tedesco Max Planck (858-1947), professore dell’Università di Berlino con il suo celebre lavoro « Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum » (“Sulla teoria della distribuzione dell’energia nello spettro normale”), nel quale riuscì ad interpretare correttamente lo spettro del corpo nero, a patto però di capovolgere completamente i fondamenti su cui si basava tutta la Fisica Classica.

Fin dai tempi di Aristotele, infatti, la Natura era considerata fondamentalmente continua; è di Gottfried Leibniz (1646-1716) il famoso motto latino « Natura non facit saltus », che condizionò generazioni di pensatori. L’energia, così come compare nelle Equazioni di Maxwell, nei principi della Dinamica e nella Termodinamica, può essere scambiata in quantità qualsiasi, senza alcuna limitazione, e i suoi valori possono variare con continuità dentro un certo intervallo continuo.

Secondo Planck, invece, gli oscillatori armonici atomici possono scambiare con la radiazione pacchetti energetici che sono unicamente multipli interi di un’unità fondamentale, detto quanto di energia, il cui valore è pari a:

E = h f

dove f è la frequenza ed h è una costante universale, detta costante di Planck. Come misurarne il valore? Suggeriamo un metodo possibile. Consideriamo un LED (Light Emission Diode), un diodo in grado di emettere luce ogni volta che un elettrone si ricombina con una lacuna.

Il LED da noi preso in considerazione emette luce con una lunghezza d’onda di 465 nanometri (luce azzurra), e quindi con una frequenza di circa 6,45 x 1014 Hz. Alimentiamo il LED con un circuito contenente un reostato, cioè una resistenza variabile: mentre uno sperimentatore muove con grande lentezza il cursore del reostato, noi osserviamo il LED per stimare quando esso inizia ad accendersi; per rendere più facile apprezzare questo momento, il locale in cui avviene l’esperimento è stato opportunamente oscurato, in modo che esso sia immerso nella penombra.

Nel momento esatto in cui il LED azzurro comincia ad illuminarsi, si registra la tensione ai suoi estremi mediante un comune voltmetro. Scopriamo che tale tensione corrisponde approssimativamente a 2,67 V. Allora l’energia del singolo elettrone che attraversa il fotodiodo è pari a:

E = e ΔV = 1,6 x 10–19 C x 2,67 V = 4,272 x 10–19 J

Allora dalla formula di Planck risulta facile ricavare il valore di h:

h = E / f = 4,272 x 10–19 J / 6,45 x 1014 Hz = 6,62 x 10–34 J s

Il valore oggi comunemente accettato di h è pari a:

h = 6,62606957 x 10–34 J = 4,1356675 x 10–15 eV s

Questa costante, come un fantasma, appare tutte le volte che si studia un fenomeno nel mondo dell’infinitamente piccolo, dimostrando così che tutto questo mondo è dominato dagli scambi energetici discreti.

Risulta allora abbastanza naturale comprendere perchè nel nostro mondo macroscopico tale discontinuità non è avvertibile: i “salti” energetici sono troppo piccoli perchè noi possiamo rilevarli, ed a noi le transizioni energetiche appaiono continue.

Planck calcolò la sua distribuzione come segue; per ripetere il suo ragionamento, dovremo utilizzare gli strumenti dell’Analisi Matematica. Se l’energia irraggiata assume valor discreti, il valore medio può essere calcolata così:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 6          (2.3)

dove la probabilità che l’energia assuma il valore E è data da:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 7

in base alla ben nota distribuzione di Maxwell-Boltzmann. Chiamiamo ora E = n h f, dove n è un numero intero, e poniamo:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 8

La precedente allora diventa:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 9

Ora, quella a denominatore è una progressione geometrica di periodo e–x, e la sua somma è pari a:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 10

Ne segue che la probabilità suddetta è pari a:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 11

Sostituiamo ora nell’espressione (2.3) del valor medio dell’energia < E >:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 12

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 13

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 14

Risostituiamo il valore di x e troviamo:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 15           (2.4)

Ora, la radiazione nella cavità del corpo nero si può considerare come un’onda stazionaria di vettori campo elettrico E e campo magnetico B. Decomponendo tali vettori nei loro modi normali, è come se tra le frequenze f e f + df operasse un numero dn di oscillatori armonici classici, pari a:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 16

Per il teorema di equipartizione dell’energia, ogni oscillatore della cavità all’equilibrio termodinamico ha un’energia pari a < E >. Si ha dunque:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 17

E quindi:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 18     (2.5)

Se rappresentiamo questo andamento, ci accorgiamo che è in ottimo accordo con i dati sperimentali, a differenza della Legge di Rayleigh e Jeans. Lo dimostra questo grafico, nel quale la curva di emissione del nostro Sole è comparata con la distribuzione di Planck ora ricavata per la temperatura di 6037 K calcolata qui sopra:

corpo nero

A basse frequenze, cioè se h f << KB T, usando gli sviluppi di MacLaurin si ha:

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e quindi:

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che è la previsione fatta da Rayleigh e Jeans. Se invece h f >> KB T, prevale l’esponenziale e si ha:

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funzione che rispecchia bene l’andamento sperimentale per alti valori di f.

Se poi integriamo u(f,T) su tutte le frequenze, riutilizzando la sostituzione già sfruttata, si ha:

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Per risolvere tale integrale improprio, seguiamo il seguente procedimento:

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e quindi è immediato ottenere:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 26

Se ne deduce che il potere emissivo totale del corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta, in accordo con la legge di Stefan-Boltzmann. Siccome si può dimostrare che:

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ne segue che la costante empirica di Stefan-Boltzmann è così interpretabile in funzione delle principali costanti fisiche:

Meccanica quantistica: teoria del corpo nero 28

Sostituendo i valori numerici, si trova proprio σ = 5,67 x 10–8 W m–2 K–4 (provare per credere). Il suo vero significato è dunque comprensibile solo alla luce della teoria quantistica di Max Planck.

Planck e Einstein
Max Planck (Kiel, 23 aprile 1858 – Göttingen, 4 ottobre 1947) con Albert Einstein

In verità, lo stesso Planck fu spaventato dal fatto che la sua teoria aveva scosso i fondamenti della Fisica Classica.

Egli stesso ebbe a dire: « Si prova d’istinto qualche ripugnanza a rovinare le fondamenta delle teorie sui fenomeni elettrici e magnetici, che pure hanno trovato tante conferme sperimentali! » Rivoluzionario suo malgrado, egli dovette accettare che la sua scoperta mettesse a soqquadro l’edificio della Fisica.

Naturalmente, se Planck era scettico nei confronti delle sue nuove ipotesi, è facile immaginare quanto lo fossero i suoi colleghi. Le sue teorie sui quanti furono perciò accantonate, fino a che non divenne chiaro che essi potevano rappresentare la chiave per penetrare per la prima volta i segreti del mondo atomico.

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. Douglas C. Giancoli, Fisica, principi e applicazioni, ISBN 88-408-1015-3, Casa Editrice Ambrosiana, 2000.
  2. C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica II (Elettromagnetismo e Ottica), 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0, Liguori Editore, 1998.
  3. Amici della Scienza
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