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Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria

L’equazione di Klein-Gordon, che descrive il moto delle particelle scalari (con spin nullo), nasce dall’esigenza di voler inserire il formalismo della relatività ristretta all’interno della meccanica quantistica e quindi di riscrivere con la notazione covariante l’equazione di Schrödinger:

L’oscillatore armonico quantistico e l’atomo di idrogeno sono due dei pochi casi che permettono una completa risoluzione dell’equazione di Schrödinger. Nella stragrande maggioranza dei casi pratici, una soluzione analitica rigorosa è impossibile: come si è visto, non si può risolvere in modo esatto neppure l’atomo di elio, perchè tra i due elettroni si instaura una reciproca interazione di cui non si può non tenere conto, e che complica in modo irrimediabile le energie in gioco.

Tuttavia è ipotizzabile una soluzione numerica delle equazioni per atomi polielettronici, ad esempio con il metodo di Hartree-Fock, che consenta di definire l’esatto ordine di riempimento delle shell atomiche.

C’è però una difficoltà. Anche il modello atomico quanto-ondulatorio si rivela alla lunga inadeguato alla descrizione corretta dei fenomeni microscopici. Infatti, si può dimostrare che l’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno ci permette di ricavare funzioni d’onda etichettate da tre soli numeri quantici: nlm, mentre noi abbiamo visto che il corretto riempimento della Tavola Periodica richiede un quarto numero quantico, quello s di spin.

Il magnifico castello costruito da de Broglie, Schrödinger, Born ed Heisenberg non riesce in alcun modo a spiegare la quantizzazione del momento magnetico intrinseco dell’elettrone; anzi, non riesce a spiegarne correttamente neppure l’esistenza! Infatti non è difficile rendersi conto che, se tale momento magnetico è dovuto a una pura e semplice rotazione sul proprio asse dell’elettrone, inteso come una sferetta di raggio pari al raggio classico, esso deve ruotare talmente veloce che i punti del suo equatore si muoverebbero a una velocità assai superiore a quella della luce, contro i fondamenti della Relatività Ristretta.

Dunque la Fisica Atomica e la Fisica Relativistica vengono qui palesemente in conflitto tra di loro. Ma non è tutto: proviamo a valutare la velocità dell’elettrone 1s dell’atomo di idrogeno. Secondo il modello ondulatorio, vale il Principio di Indeterminazione di Heisenberg:

Δp Δx ≈ h

Ma Δx è dell’ordine del raggio di Bohr a0, mentre Δp = me Δv. Ne segue:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 1

È un valore non dissimile dai 2,2 x 106 m/s calcolati nella prima orbita di Bohr con il modello quanto meccanico. Siamo molto vicini alla velocità della luce, e perciò insorgono necessariamente degli effetti relativistici, come aveva già suggerito Sommerfeld per spiegare (classicamente) la separazione delle righe spettrali.

Evidentemente non si può descrivere l’atomo, neppure il più semplice, cioè quello di idrogeno, senza tenere conto di questi effetti, pena l’impossibilità di una spiegazione corretta dei risultati sperimentali.

Oskar Benjamin Klein
Oskar Benjamin Klein (1894-1977)

Il fatto è che il modello quanto-ondulatorio, come tutti i modelli, ha dei limiti e delle approssimazioni. Queste ultime riguardano la natura delle particelle, il tipo di interazione e la meccanica usata. Infatti le particelle come il protone che costituiscono il nucleo atomico hanno una struttura interna, e non risultano affatto puntiformi.

Inoltre l’interazione non si propaga con velocità infinita, perchè più veloce della luce non può viaggiare nessuno. Dunque non è corretto dire che il potenziale è funzione solo della distanza! Di conseguenza è prevedibile che l’equazione di Schrödinger non descriva correttamente i livelli energetici dell’atomo di idrogeno, e che per questo dalla teoria ondulatoria non emerga lo spin dell’elettrone.

La Meccanica Quantistica e quella Relativistica non sono semplicemente sommabili, ma è necessaria una teoria più generale, che inglobi entrambe unificandole. Dedicheremo quest’ultimo capitolo alla ricerca di tale teoria. I primi a tentare l’impresa di unificare in modo soddisfacente le due teorie furono lo svedese Oskar Benjamin Klein (1894-1977) e il tedesco Walter Gordon (1893-1939), in base a un ragionamento concettuale molto semplice, anche se esso richiede necessariamente conoscenze avanzate di matematica. Infatti l’equazione di Schrödinger (6.4):

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 2

può essere ricavata dall’equazione non relativistica della conservazione dell’energia meccanica totale:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 3          (9.1)

per sostituzione dei cosiddetti operatori quantistici, come ci insegna la Meccanica degli Operatori, una delle formulazioni della Meccanica Quantistica:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 4

Allora, per ottenere l’equazione d’onda per il moto di una particella la cui energia supera notevolmente la sua energia a riposo m c2, si deve partire dal legame relativistico tra energia ed impulso che, nel caso del moto libero di una particella, ha la forma:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 5          (9.2)

Usando le sostituzioni precedenti si ha allora:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 6

cioè:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 7          (9.3)

Questa è l’equazione di Klein-Gordon, ricavata per la prima volta nel 1926, che si può anche riscrivere così:

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L’operatore:

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si dice operatore dalembertiano, dal nome del matematico francese Jean-Baptiste Le Rond d’Alembert (1717-1783), uno degli autori dell'”Encyclopédie”. Esso permette di scrivere l’equazione delle onde (detta appunto equazione di d’Alembert) in maniera molto semplice, e grazie ad esso anche la (9.3) si può riscrivere:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 10

L’operatore dalembertiano è la forma relativistica quadridimensionale dell’operatore laplaciano, se si pensa che ( i c t ) è la quarta coordinata dello spazio di Minkowski insieme a xyz, e che quindi ad essa corrisponde:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 11

La (9.2) è scritta in assenza di forze, dunque è ragionevole che la (9.3) descriva il moto quantistico relativistico di una particella libera. Allora, se si cerca per essa una soluzione del tipo:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 12

si verifica che essa soddisfa la (9.3) per valori dell’energia pari a:

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dove, ovviamente:

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La (9.4) equivale in tutto e per tutto alla (9.2). Tuttavia, è evidente che nasce una difficoltà. Infatti secondo la (9.4) abbiamo sia dei livelli positivi che dei livelli negativi di energia, ed invece si sa che una particella libera può avere soltanto energie positive. Dunque dalla teoria quantistica relativistica comincia ad emergere qualcosa di nuovo, mai visto prima.

Se sostituiamo la (9.4) nella (9.3), scopriamo due soluzioni corrispondenti a due diversi segni dell’energia, che per convenzione chiameremo rispettivamente Ψ+ e Ψ. Ciò è fondamentale per comprendere il concetto di antiparticella.

Se infatti indichiamo con E+ ed E gli autovalori dell’energia corrispondenti alle due funzioni d’onda Ψ+ e Ψ, per essi potremo trovare le due espressioni analitiche:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 15

dove E è data dal modulo della (9.4). Si può dimostrare che la densità di carica elettronica ρe per unità di volume nello spazio è dato allora dalla formula:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 16

e quindi tale densità può essere sia positiva che negativa! Quelle descritte dalla funzione d’onda Ψ+ sono le comuni particelle, mentre quelle descritte dalla funziona d’onda Ψ si dicono antiparticelle. L’operazione che ad una particella come l’elettrone fa corrispondere la sua corrispondente antiparticella si chiama coniugazione di carica, perchè le due funzioni d’onda Ψ+ e Ψ sono l’una la coniugata dell’altra. Tutto questo emerge già molto bene dalla semplice equazione di Klein-Gordon.

Dirac interpreta lo spin

Non è però difficile rendersi conto che tale equazione non è in grado di descrivere il comportamento relativistico dell’elettrone nell’atomo di idrogeno, perchè le particelle la cui funzione d’onda sono soluzioni della (9.3) sono prive di momento magnetico proprio.

Dunque, dall’equazione di Klein-Gordon non è possibile ricavare lo spin: essa descrive particelle a spin nullo, come i pioni (π+ππ0), mesoni teorizzati nel 1935 da Hideki Yukawa (1907-1981) e osservati nel 1947 nei raggi cosmici, e i kaoni (K+K), osservati nel medesimo anno: molti anni dopo la formulazione della suddetta equazione, dunque. Il problema dello spin elettronico restava così insoluto.

Il grande merito di aver trovato la soluzione corretta di questo complicato rompicapo teorico spetta all’inglese Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), brillante fisico matematico da annoverare fra i più geniali intelletti del secolo. Egli ragionò nel modo che segue.

Nella Fisica Relativistica le tre coordinate spaziali e la coordinata temporale (i c t) sono assolutamente equivalenti tra di loro; dunque non c’è alcun motivo per cui nelle equazioni del moto esse compaiano con diverso ordine di derivazione. Invece l’equazione di Schrödinger contiene le derivate seconde rispetto alle tre coordinate spaziali, e la derivata prima rispetto al tempo.

Del resto, essa è ricavata dalla meccanica newtoniana classica, in cui l’energia (più precisamente E / c) e le componenti della quantità di moto (pxpypz) non sono le componenti di uno stesso vettore, ma sono grandezze ben diverse tra di loro, così come lo sono lo spazio e il tempo. Klein e Gordon avevano provato ad introdurre nelle equazioni delle onde tutte e quattro le derivate seconde rispetto a xyz e t, ma non erano riusciti a far emergere lo spin.

Allora, invece di sostituire alla derivata prima rispetto al tempo la derivata seconda, pensò Dirac, perchè non sostituire alle derivate seconde rispetto alle coordinate spaziali le derivate prime? Naturalmente egli dovette introdurre altre unità immaginarie, ma ciò non è un problema; l’importante è che gli autovalori dell’energia abbiano la forma data dalla (9.4). Al limite, si deve avere:

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Mettiamoci allora nel caso unidimensionale, il più semplice, e cerchiamo due coefficienti α e β tali che:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 18          (9.5)

Se px ≠ 0 ed m ≠ 0 contemporaneamente, generalmente non esisteranno valori numerici di α e di β che soddisfano la (9.5). Infatti, elevandone entrambi i membri al quadrato, si ha:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 19

Essa è verificata se e solo se si ha contemporaneamente:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 20

Chiaramente nessun numero finito, né reale né immaginario, soddisfa queste tre relazioni. Però, pensò Dirac, se α e β fossero matrici, le cose cambierebbero radicalmente! Infatti, posto:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 21

si ha:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 22

Naturalmente il prodotto d matrici in generale non è commutativo, per cui risulta α  β. L’equazione quantistica relativistica cercata deve dunque avere coefficienti matriciali! Nel caso tridimensionale, alla (9.5) va sostituita la seguente:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 23          (9.6)

In questo caso le condizioni diventano:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 24

con j, k = 1, 2, 3 e j ≠ k. Stavolta le matrici sono necessariamente quadridimensionali! Le soluzioni sono del tipo:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 25

Questi coefficienti permettono di esprimere la (9.6) nella forma:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 26

Sostituendo ad Epxpypz i corrispondenti operatori quantistici, Dirac ottenne:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 27

e dopo facili semplificazioni:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 28          (9.7)

Questa è la cosiddetta equazione di Dirac, ed è l’equivalente relativistico dell’equazione di Schrödinger; effettivamente essa contiene solo le derivate prime rispetto a xyxt.

Teniamo conto del fatto che si tratta di un’equazione matriciale, i cui coefficienti α1α2α3β sono matrici, e precisamente matrici hermitiane, che cioè coincidono con le coniugate delle proprie trasposte: una caratteristica comune, questa, a tutte le matrici che esprimono operatori quantistici. Sono inoltre indipendenti tra di loro, e si possono scrivere nella forma seguente:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 29

dove 0 è la matrice nulla, I è la matrice identità:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 30

e le tre matrici σj (j = 1, 2, 3) sono dette matrici di Pauli:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 31

Esse soddisfano le relazioni:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 32

dove j, k l, assumono i valori 1, 2, 3 a rotazione. Inoltre, σj2 = I, qualunque sia j. È un po’ strano vedere delle matrici i cui elementi sono matrici, ma oramai in Meccanica Quantistica siamo abituati a vederne di tutti i colori.

Si è sottolineato il fatto che l’equazione (9.7) è un’equazione matriciale, i cui coefficienti sono matrici e la cui incognita è un vettore a quattro componenti, nelle quattro direzioni dello spazio-tempo:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 33

Sviluppando le matrici, l’equazione di Dirac (9.7) equivale alle quattro seguenti equazioni scalari:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 34

Ci si può chiedere: dato che la funzione d’onda è sempre stata trattata da noi come uno scalare, come mai ora è diventata un vettore, per giunta a quattro componenti? Siccome l’equazione di Klein-Gordon prevede l’esistenza di antiparticelle, è evidente che esse devono saltar fuori anche dall’equazione di Dirac, che ne costituisce un perfezionamento.

Dunque, necessariamente due componenti della funzione d’onda restituiranno le particelle, e le altre due le antiparticelle. Ma, anche così, sia a un corpuscolo che al suo omologo con carica inversa noi assegniamo due componenti. Come si spiega questo enigmatico fatto? Si può dimostrare che esse sono dovute ai due stati di spin.

Infatti un elettrone può avere spin up o spin down. Chiamiamo Ψ↑ e Ψ↓ le funzioni d’onda che corrispondono a tali diversi stati elettronici. Ora, la Meccanica degli Operatori messa a punto proprio da Dirac ci insegna che misurare la componente lungo z del momento angolare di spin significa applicare alla funzione d’onda il corrispondente operatore quantistico.

Chiamiamo Ŝz tale operatore. La misura può restituire solo i due valori + h / 4 π e  h / 4 π; essi saranno i cosiddetti autovalori dell’operatore Ŝz, corrispondenti alle autofunzioni Ψ↑ e Ψ↓. In altre parole:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 35

che si possono sintetizzare così:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 36       

Ma che forma ha l’operatore di spin, da noi finora mai incontrato? Proviamo a scrivere Ŝz nella forma:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 37        (9.8)

Infatti una matrice, se moltiplicata per (applicata ad) un vettore, è a tutti gli effetti un operatore. Se le funzioni d’onda di spin hanno la forma:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 38

avremo immediatamente:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 39

Sembra proprio che abbiamo imboccato la direzione giusta. Non è difficile accorgersi che:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 40

Dunque la terza matrice di Pauli σ3 coincide con l’operatore Ŝz. Analogamente si potrebbe provare che gli operatori Ŝx ed Ŝy, relativi alle altre due componenti del vettore s, sono dati da:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 41

D’altro canto, osserviamo che la più generale funzione d’onda di spin si può esprimere come combinazione lineare di Ψ↑ e di Ψ↓ con coefficienti a e b generici:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 42

Perciò è possibile interpretare questi vettori come sovrapposizione di stati quantistici: [ 1  0 ]T indica che ho una componente up e nessuna componente down, [ 0  1 ]T indica che ho una componente down e nessuna componente up.

Ma il momento magnetico è direttamente proporzionale al momento angolare. Dato che anche lo spin è un momento magnetico, quello associato allo spin dell’elettrone sarà dato da:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 43

In essa, la costante di Planck è stata inglobata nel vettore s. L’energia dello spin in un campo magnetico uniforme B allora è data da:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 44

Come abbiamo detto, la Meccanica degli Operatori formulata da Dirac nel 1926 richiede che a tale grandezza associamo un operatore quantistico. La corrispondente equazione di Schrödinger in forma operatoriale è allora la seguente:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 45

Se il campo è diretto lungo l’asse z, per la (9.8) si ha l’equazione matriciale:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 46

che si scinde in due:

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Come soluzioni scegliamo le due seguenti:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 48

e sostituendole nelle (9.9) troviamo:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 49

Ne consegue che la soluzione generale dell’equazione matriciale è del tipo:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 50

Osserviamo che e Bz / me ) ha le dimensioni dell’inverso di un tempo, e quindi possiamo chiamarlo ω0. Ora, se calcoliamo il valor medio o valore di aspettazione della componente sz dello spin lungo z, indicato da Pauli con il simbolo < sz >, usando gli strumenti della Meccanica degli Operatori si trova:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 51

Tale valore medio è indipendente dal tempo, perchè l’esponenziale immaginario sparisce. Operando allo stesso modo si ricava:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 52

Queste componenti, come si vede, dipendono dal tempo. Se ne ricava che la componente dello spin nel piano xy ruota con velocità angolare ω0, perchè:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 53

Resta così giustificato quello che viene chiamato il modello vettoriale dello spin, formulato nel 1925 dai fisici olandesi George Eugene Uhlenbeck (1900-1988) e Samuel Abraham Goudsmit (1902-1978), secondo il quale lo spin elettronico è rappresentato da un momento magnetico che precede intorno all’asse z, come illustra lo schizzo sottostante:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 54

Infatti, la componente sz lungo l’asse z resta costante, mentre la “freccia” del vettore s percorre una circonferenza. Se a = 1 e b = 0, si ha Ψ = Ψ↑ e sz = h / 4 π; se a = 0 e b = 1, invece, si ha Ψ = Ψ↓ e si ha sz = – h / 4 π. Osserviamo infine che l’operatore modulo quadrato dello spin è dato da:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 55

dove I è la matrice identità. La corrispondente equazione operatoriale è:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 56

E poiché si ha:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 57

la precedente può essere riscritta:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 58

con ms = 1 / 2. Il modulo dello spin pertanto può assumere solo i valori:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 59

Le ipotesi di Wolfgang Pauli sulla quantizzazione del momento angolare intrinseco dell’elettrone trovano pertanto una perfetta interpretazione nell’ambito della teoria quantistica relativistica di Paul Dirac.

Il modello atomico quanto-relativistico

Osserviamo che la (9.7) può essere riscritta a sua volta nella forma operatoriale:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 60          (9.10)

formalmente analoga alla forma operatoriale (6.5) dell’equazione non relativistica di Schrödinger, a patto di definire l’operatore hamiltoniano di Dirac:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 61

Imponendo una soluzione del tipo:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 62

si ricava per ψ(r) la seguente equazione:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 63          (9.11)

Questa è l’equazione per gli stati stazionari relativistici, analoga alla (6.8). I livelli energetici sono ancora gli autovalori dell’operatore hamiltoniano relativistico ĤD. Siccome la carica può essere positiva o negativa (a seconda che si parli delle particelle o delle relative antiparticelle), si introduce un nuovo grado di libertà nel possibile stato assunto dalla nostra particella.

Conviene perciò rompere la funzione d’onda ψ(r), che poi è un vettore a quattro componenti, nella somma di due vettori φ(r) e χ(r) a due componenti, uno per la particella e uno per l’antiparticella:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 64

Allora l’equazione (9.11) può essere rotta in due equazioni distinte. Infatti, utilizzando le definizioni di αj e β mediante le matrici di Pauli σj, si ha:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 65

il che equivale al sistema:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 66

ovvero:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 67

Questo è palesemente un sistema omogeneo. L’algebra matriciale ci dice che esso ammette soluzioni non nulle solo se si annulla il determinante dei coefficienti delle funzioni incognite:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 68

Si osservi che questo è un determinante di operatori! Esso equivale a:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 69

e passando dagli operatori alle grandezze fisiche:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 70

Sviluppando

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 71

e ricordando che σj2 = I, mentre:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 72

si ottiene l’espressione:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 73

Gli autovalori dell’energia sono dunque:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 74

Questa formula coincide con la (9.4), cioè con gli autovalori dedotti dall’equazione di Klein-Gordon! Non è difficile, d’altro canto, dimostrare che l’equazione di Dirac e l’equazione di Klein-Gordon ammettono le stesse soluzioni nel caso di particella libera. In questo caso infatti la (9.7) è soddisfatta per:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 75         (9.12)

dove ψ0 è un vettore di quattro costanti. Infatti, se il moto è supposto avvenire lungo l’asse z, si può scrivere:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 76

e sostituendola nell’equazione di Dirac si trova il sistema:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 77

Sviluppando il determinante si scopre che la condizione per avere soluzioni non banali è:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 78

cioè:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 79

Gli autovalori sono dunque:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 80

che coincidono con i (9.4) se:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 81

Ora applichiamo l’operatore

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 82

 ad entrambi i membri della (9.10):

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 83

Ma gli operatori ĤD ed

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 84

sono tra di loro commutabili, perchè ĤD non agisce sul tempo, né

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 85

sulle coordinate spaziali. Possiamo perciò riscrivere la precedente come segue:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 86

Operando opportunamente con le matrici σj, si verifica che:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 87

cosicché la nostra equazione diventa:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 88

cioè:

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 89

che è proprio l’equazione di Klein-Gordon (9.3). Dunque le componenti della (9.12) soddisfano anche l’equazione per particelle a spin nullo.

George Uhlenbeck (1900-1988) e Samuel Goudsmit (1902-1978)
George Uhlenbeck (1900-1988) e Samuel Goudsmit (1902-1978)

La differenza sta nel fatto che l’equazione di Dirac, se risolta per l’atomo di idrogeno, fornisce esattamente lo spin dell’elettrone, prevedendo esattamente tutti i livelli energetici e le suddivisioni delle righe spettrali che avevano resistito a qualunque tentativo di interpretazione nel modello quanto-ondulatorio.

A questo scopo bisogna correggere l’hamiltoniano relativistico ĤD con opportuni operatori che tengano conto del potenziale del campo di forze centrali avvertito dall’elettrone nel suo moto attorno al nucleo, non compreso nella (9.7).

Il risultato permette di interpretare perfettamente la struttura fine dell’atomo di idrogeno e di quelli più pesanti: si parla al proposito di modello quanto-relativistico dell’atomo. Esso riesce a spiegare in modo molto soddisfacente il comportamento dell’atomo in campo elettrico (effetto Stark) e in campo magnetico (effetto Zeeman anomalo). Anch’esso però lascia aperti dei problemi, e in particolare quello delle energie negative.

Il mare di Dirac e l’antimateria

Infatti dall’equazione di Klein-Girdon e dall’equazione di Dirac emerge con chiarezza l’esistenza di livelli di energia negativa anche per la particella libera. Questo fatto costituisce una grossa difficoltà concettuale, perchè un elettrone tende sempre a trovarsi nel livello di energia più basso che gli è concesso di occupare.

Allora tutti gli elettroni, con energie normalmente positive, dovrebbero precipitare sui livelli ad energia negativa, e alla fine si troverebbero tutti in questo “baratro energetico”.

Ciò evidentemente non si verifica, perchè gli elettroni liberi con energia positiva restano tutti dove sono, se non ci sono altri livelli ad energia positiva ma inferiore su cui saltare. Ci troviamo di fronte all’ennesima contraddizione tra previsioni teoriche e realtà sperimentale.

Paul Dirac però non si scompose. Invece, egli ragionò in questo modo: se gli elettroni non saltano su livelli di energia negativa, vuol dire semplicemente che essi sono già tutti occupati. In base al Principio di Esclusione di Pauli, ogni livello energetico può essere occupato solo da due elettroni, con spin opposto.

Se allora tutti gli infiniti livelli energetici con E < 0 sono già occupati da due elettroni, come mostra lo schizzo sottostante, i salti dai livelli di energia positiva risulteranno inammissibili, esattamente come nell’atomo di idrogeno un elettrone non può passare dalla shell L alla shell K, se questa è già occupata da due elettroni. Ma se tutti gli infiniti livelli di energia negativa sono già occupati, bisogna concepire il vuoto come un mare di elettroni di energia negativa, detto appunto mare di Dirac.

È possibile rilevare queste particelle di energia negativa? No, perchè con nessun apparecchio elettrico è possibile rivelare una distribuzione uniforme di cariche nello spazio, per quanto densa essa sia. Per comprendere questo concetto, si pensi ad un pesce che nuota nel mare, che non è mai stato in superficie e non ha mai toccato il fondo.

Supponendo trascurabile l’attrito dell’acqua contro le sue pinne, esso non può stabilire se nuota nell’acqua, nell’aria o nel vuoto assoluto; e si sa che ciò che non si può osservare, non interessa alla Fisica. Tuttavia, secondo Dirac è possibile rivelare indirettamente un effetto di questo mare elettronico. Infatti, se un elettrone con E > 0 non può saltare verso il basso, uno con E < 0 può invece essere eccitato e saltare verso l’alto.

mare di DiracSiccome in base alla (9.4) il valore minimo del modulo degli autovalori dell’energia è m c2, se io fornisco a un elettrone di energia negativa un’energia pari almeno a ( 2 m c2 ), questo salta su un livello con E > 0 non occupato, e diventa rivelabile! Come si vede nello schizzo qui sotto, al suo posto sul livello da cui l’elettrone è partito rimane una lacuna.

Prima dell’evento il mare di Dirac era considerato elettricamente neutro, perchè le cariche elettroniche negative devono essere compensate dalle cariche delle particelle positive, i protoni, i quali verificano anch’essi l’equazione di Dirac, e riempiono quindi un mare di Dirac di protoni con energia negativa.

Se però scompare una carica negativa in un mare elettricamente neutro, rimane una carica negativa in più, e quindi la lacuna si comporta come una carica positiva (anche in questo caso, in evidente analogia con i semiconduttori).

Tale lacuna si comporta proprio come una particella, e coincide con l’antiparticella prevista dall’equazione di Dirac.

Inizialmente Dirac pensava che questa antiparticella dovesse coincidere con il protone, la carica positiva costituente il nucleo atomico. Ma, se così fosse, l’elettrone che ruota attorno a un protone nell’atomo di idrogeno salterebbe subito nella “lacuna” da esso costituita, emettendo la differenza di energia sotto forma di radiazione, e l’atomo risulterebbe instabile.

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 90L’ipotesi del mare di Dirac suscitò dunque molte perplessità fino al 1932, quando l’americano Carl Anderson (1905-1991) riuscì ad osservare che gli elettroni dei raggi cosmici, quando attraversano un campo magnetico, in parte sono deviati nella direzione prevista dalla teoria (tenendo conto che si tratta di particelle negative), e in parte… nella direzione opposta.

Ciò era spiegabile solo ammettendo l’esistenza di elettroni positivi, da Anderson battezzati positroni, che sono del tutto identici agli elettroni scoperti da J.J. Thomson, fuorché nella carica elettrica. Essi si comportano esattamente come dovrebbero fare le “lacune” nel mare di Dirac. Era stata così rivelata la prima antiparticella. Qui sotto si vede la fotografia del primo positrone mai osservato, ottenuta nel 1932 da Carl Anderson e tratta da “The Positive Electron”, Physical Review 43 (6): 491-494.

Subito i ricercatori si misero al lavoro, e bombardando piastre metalliche con raggi gamma molto duri riuscirono a creare coppie elettrone-positrone. Questo fenomeno, noto come creazione di coppie, è un esempio della trasformazione dell’energia in massa, prevista dalla famosa equazione E = m c2 della Relatività Ristretta di Einstein.

Poiché un elettrone e un positrone hanno ciascuno una massa di 9,1 x 10–31 Kg, per un totale di 1,82 x 10–30 Kg, a tale massa corrisponde un’energia di:

1,82 x 10–30 Kg x ( 3 x 108 m/s)2 = 1,638 x 10–13 J = 1,022 x 106 eV

dove un elettronVolt (eV) è pari ad 1,6 x 10–19 J. Ne consegue che la creazione della coppia elettrone-positrone ha luogo solo se il fotone che si “materializza” ha un’energia di almeno 1022 KeV. Applicando la legge di Planck E = h f troviamo che tale energia corrisponde ad una frequenza di 2,46 x 1020 Hz, cioè ad un fotone nella banda dei raggi gamma duri. Quella di 1022 KeV è chiamata energia di soglia per la creazione di coppie, e ha una grandissima importanza nella progettazione di schermi antiradiazioni.

Al contrario, quando un elettrone e un positrone entrano in contatto, è come se il primo “rientrasse” nella lacuna rappresentata dal secondo, ed allora emette il dislivello energetico fra i due, di 1022 KeV per l’appunto, generando due fotoni gamma da 511 KeV ciascuno che partono in direzioni opposte: si parla in tal caso di annichilazione della coppia, anche se il termine è un po’ fuorviante.

Esso infatti deriva dal latino “nihil”, “niente”, mentre l’elettrone e il positrone non si sciolgono nel nulla: si convertono in energia della radiazione. In entrambi i casi, creazione di coppie ed annichilazione, il principio di conservazione della massa e dell’energia è insomma rispettato, come aveva previsto Einstein.

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 91

Nel 1955 l’italiano Emilio Segrè (1905-1989), lavorando con l’americano Owen Chamberlain (1920-2006) sulle interazioni protone-protone ad alta energia all’acceleratore di particelle Bevatron di Berkeley, ottenne la produzione del primo antiprotone, risultato per cui Segrè e Chamberlain furono insigniti del Premio Nobel, ma la cosa è stata molto più difficile della generazione di positroni, perchè la massa a riposo del protone supera di 1840 volte quella dell’elettrone, e dunque anche le energie in gioco sono più elevate.

Per ottenere una coppia protone-antiprotone sono necessari infatti 1876 MeV di energia, ottenibili solo nei più potenti acceleratori di particelle. Un anno dopo gli antiprotoni vennero ottenuti anche i primi antineutroni, grazie al lavoro di Bruce Cork (1916-1994).

Il dubbio è: essendo privi di carica, gli antineutroni non coincidono con i neutroni? Oggi sappiamo che la risposta è no, perchè particelle e antiparticelle non differiscono solo per la carica elettrica, ma anche per il momento magnetico e per la composizione interna. Solo i bosoni (fotone, gravitone…) coincidono con le loro particelle.

Ettore Majorana (1906-?) ipotizzò che esistessero fermioni che coincidono con le loro antiparticelle, oggi chiamati in suo onore fermioni di Majorana, ma a tutt’oggi non ne è stato scoperto nessuno. Che i neutrini siano fermioni di Majorana è solo un’ipotesi sinora mai confermata.

L’esperimento NEMO-3, in corso dal 2003 sotto il traforo del Frejus, è stato organizzato per accertare se il doppio decadimento beta può avvenire in assenza di neutrini; in caso positivo, questo proverebbe che il neutrino è un fermione di Majorana.

Naturalmente l’esistenza di positroni e di antiprotoni fece nascere il dubbio che esistessero anche antiatomi, cioè atomi con un nucleo negativo ed orbitali positivi; ed in effetti nel 1965, al CERN di Ginevra, il gruppo di ricerca condotto da Antonino Zichichi (1929-) produsse il primo nucleo di antideuterio, e nel 1978 ricercatori italiani e francesi guidati da Giorgio Giacomelli (1931-2014) scoprirono nuclei di antitrizio.

Nel 1995 nell’acceleratore di particelle LEAR (Low Energy Anti-Proton Ring) al CERN di Ginevra vennero prodotti per la prima volta atomi di anti-idrogeno facendo collidere antiprotoni prodotti in un acceleratore di particelle contro cluster di xeno. I primi atomi di anti-idrogeno sintetizzati avevano una temperatura molto elevata (alcune migliaia di kelvin), quindi avevano una grande energia cinetica che li portava in breve tempo a colpire le pareti dell’apparecchiatura sperimentale e di conseguenza ad annichilarsi.

Nel 2011, sempre al CERN di Ginevra, i ricercatori dell’esperimento ALPHA (Antihydrogen Laser PHysics Apparatus) hanno sintetizzato e intrappolato 38 atomi di anti-idrogeno per un tempo di 172 millisecondi a una temperatura inferiore a 0.5 kelvin. Il tempo di confinamento e la temperatura ottenuti al CERN hanno permesso per la prima volta di studiare lo spettro atomico dell’anti-idrogeno.

Sempre nel 2011, nei Brookhaven National Laboratory sono stati prodotti ed analizzati alcuni nuclei di anti-elio, cioè antiparticelle alfa. E la ricerca continua, perchè l’antimateria è probabilmente la più inaspettata e la più brillante delle scoperte di Paul Dirac.

Meccanica quantistica: approccio relativistico e antimateria 92

Naturalmente il modello di Dirac del mare di elettroni presenta un grosso problema: se esso contiene infiniti elettroni, la sua massa totale è infinita.

Dunque, in base alla Relatività Generale di Einstein, il vuoto avrebbe una massa tale da curvare lo spazio, e da curvarlo così tanto da ridurlo… ad un punto geometrico. Siccome nessuno ha mai osservato il collasso dell’universo, significa che quello di Dirac in realtà è un modello, utile per capire la formazione e l’annichilazione di coppie elettrone-positrone, ma scarsamente realistico.

L’Elettrodinamica Quantistica (QED), introdotta negli anni ’50 da Richard P. Feynman (1918-1988), che prevede la quantizzazione del campo elettromagnetico, riesce a descrivere la creazione di antiparticelle mediante artifici formali, indipendentemente dal modello pelagico di Dirac.

La stessa teoria riesce a tappare i buchi del Modello Atomico Quanto-Relativistico, come lo spostamento di Lamb, fenomeno di spostamento dei livelli energetici dell’atomo di sodio che neppure l’equazione di Dirac era riuscita ad interpretare.

Aggiungiamo una scoperta recentissima, che dobbiamo a un team composto da ricercatori del Politecnico di Milano, dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, dell’Università degli Studi di Milano, del Centro Albert Einstein (AEC) per la Fisica Fondamentale e del Laboratorio di Fisica delle Alte Energie (LHEP) dell’Università di Berna.

Il 3 maggio 2019 essi hanno annunciato di essere riusciti a dimostrare che anche il positrone ha una doppia natura di onda e particella, osservando per la prima volta l’interferenza di onde di antimateria formate da singoli positroni con la doppia fenditura in una versione aggiornata dell’esperienza di Young.

Ciò conferma che le leggi della meccanica quantistica valgono anche per l’antimateria.

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. S. Sala et al., Science Advances 03 May 2019 Vol. 5, n. 5, eaav7610
  2. Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley ISBN 0-201-50397-2
  3. Steven Weinberg. La teoria quantistica dei campi. Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-08-17894-3
  4. Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
  5. Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications, Cambridge University Press
  6. Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
  7. C. Itzykson e J. B. Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980/Dover 2006.
  8. N. Bogoliubov e D. Shirkov Introduction to the theory of quantized fields Wiley-Intersceince, 1959.
  9. L. D. Landau, E. Lifsits, V. Berestetskij e L. Pitaevskij Fisica teorica, vol. 4: Teoria quantistica relativistica (Editori Riuniti, 1978)
  10. G, Mussardo, Il Modello di Ising. Introduzione alla Teoria dei Campi e delle Transizioni di Fase (Bollati-Boringhieri, 2007)
  11. Robin Ticciati (1999): Quantum Field Theory for Mathematicians, Cambridge University Press
  12. F. Mandl e G. Shaw. Quantum Field Theory. John Wiley & Sons, 1993.
  13. F. Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. Wiley-Interscience, 1993.
  14. Amici della Scienza
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Marco Giammarchi
16 Marzo 2020 11:24 AM

Cari Amici della Scienza, bellissimo articolo… peccato non abbiate citato l’esperimento (in massima parte italiano) che nel 2019 ha dimostrato che l’antimateria segue la meccanica quantistica. Ho avuto la fortuna di dirigerlo e la bibliografia è questa: S. Sala et al., Science Advances 03 May 2019 Vol. 5, n. 5, eaav7610

Marco Giammarchi
16 Marzo 2020 4:57 PM
Reply to  admin

Grazie, veramente gentili. State tranquilli che il mio suggerimento non è solo egocentrico… è fisica buona e il nostro esperimento lo trovate citato anche dalla rivista Physics World tra i dieci breakthrough del 2019 (basta fare 2019 top 10 breakthrough in google e vi manda sul sito Physics World). E’ il settimo della lista e si chiama QUPLAS. La descrizione contiene una intervista a me che l’ho ideato e diretto. Il primo nome della pubblicazione è il mio dottorando Simone Sala, che ha preso il dottorato proprio su guesto argomento. 🙂
Grazie ancora e buona giornata.

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