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Meccanica quantistica: la simmetria CPT

Vogliamo introdurre alcuni concetti fondamentali, senza i quali è impossibile comprendere appieno non solo la logica della Fisica Atomica, Molecolare e dello Stato Solido, ma anche quella alla base della Fisica del Nucleo e delle Particelle.

La simmetria CPT è la simmetria fondamentale delle leggi fisiche sotto trasformazioni che comportano le inversioni simultanee di carica, parità e tempo. Ad oggi è considerata l’unica simmetria discreta esatta della natura.

Nel 1954 fu dimostrato un teorema (teorema CPT) che deriva la conservazione della simmetria CPT per tutti i fenomeni fisici assumendo la correttezza delle leggi quantistiche.

La simmetria CPT implica che un’immagine speculare del nostro universo come riflessa da uno specchio immaginario, con tutti gli oggetti aventi momenti e posizioni opposte (corrispondente all’inversione della parità), con tutta la materia sostituita da antimateria (corrispondente all’inversione della carica) e il tempo che scorre all’indietro, evolverà esattamente come il nostro universo. In ogni istante i due universi risultano identici e l’inversione CPT può trasformare l’uno nell’altro.

Le funzioni d’onda quantistiche, infatti, sono dotate di simmetria rispetto all’inversione spaziale. Tale operazione consiste nel cambiare segno alle variabili spaziali:

r → – r

Costruiamo l’operatore corrispondente a questa trasformazione. Si tratta di una mera operazione geometrica, non di una grandezza fisica, ma se riteniamo la simmetria una proprietà delle particelle esattamente come la posizione o la quantità di moto, nessuno vieta di ripetere per essa i ragionamenti della Meccanica degli Operatori.

In tale formulazione della Meccanica Quantistica, se un operatore commuta con l’hamiltoniano, si può dimostrare che esso corrisponderà ad una costante del moto. In altre parole, anche gli operatori di grandezze senza corrispondente dinamico possono avere un significato dinamico.

Definiamo allora l’operatore P, tale che:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 1

L’operatore P si dice operatore parità. Applichiamolo all’equazione di Schrödinger per gli stati stazionari (6.8), o all’equazione di Dirac per gli stati stazionari (9.11), ed avremo:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 2          (9.13)

Applichiamo ora i due operatori in ordine inverso:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 3          (9.14)

Sostituendo – r a r in Ĥ, si trova:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 4

Dunque, se nell’equazione:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 5

cambiamo r con – r, si ha:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 6

e di conseguenza la (9.14) ci dà:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 7          (9.15)

Confrontando tra loro la (9.13) e la (9.15) si ha:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 8

Di conseguenza, H e P commutano tra di loro.

Paul Ehrenfest, suo figlio Paul junior ed Albert Einstein
Paul Ehrenfest, suo figlio Paul junior ed Albert Einstein

Ora, nella Meccanica degli Operatori vale il cosiddetto Teorema di Ehrenfest, il quale prende il nome dallo sfortunato matematico austriaco Paul Ehrenfest (1880-1933), suicidatosi il 25 settembre 1933 perchè affetto da depressione. Secondo questo teorema, l’evoluzione dei valori medi di ogni osservabile fisica descritta dalla Meccanica Quantistica coincide con l’evoluzione descritta dalla Meccanica Classica. Applicando alla precedente il Teorema di Ehrenfest si scopre che:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 9

Ma P non dipende esplicitamente dal tempo, per cui dP / dt = 0. Conclusione: la parità si conserva nel tempo. In altre parole. l’evoluzione di tutte le particelle è tale che la loro funzione d’onda conserva la simmetria rispetto all’inversione delle coordinate spaziali. In ogni stato i valori medi della parità sono gli autovalori; proviamo dunque a trovarli. L’equazione agli autovalori della parità è:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 10

Applico ora l’operatore P ad entrambi i membri:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 11

Ma l’operatore P è involutivo: se lo applico due volte, ritorno alla funzione di partenza. Dunque:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 12

da cui p2 = 1, cioè p = ± 1. Ne segue che sono possibili solo due casi:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 13

Le funzioni d’onda che soddisfano la prima delle precedenti sono pari, quelle che soddisfano la seconda sono dispari. Una funzione, in generale, non è né pari né dispari rispetto all’inversione delle coordinate; le ψ(r) invece devono necessariamente esserlo.

Ciò dipende dal fatto che il campo è centrale, ed ha un’importanza notevole. Infatti tale assunto permette ad esempio di dimostrare che una transizione elettronica da uno stato ad un altro può avvenire solo se la parità della ψ cambia.

Oltre alla parità, però, c’è un’altra operazione della medesima importanza cui le ψ obbediscono: è l’operazione che ad una particella fa corrispondere la sua antiparticella, invertendo il segno della sua carica elettrica:

q → – q

Tale operazione prende il nome di coniugazione di carica, perchè il corrispondente operatore Ĉ trasforma una funzione d’onda (che in generale è una funzione complessa) nella sua coniugata, che in Meccanica degli Operatori si indica con il simbolo ψ*. Quest’operatore è involutivo come P, ed è privo di corrispondente non relativistico, cioè esiste solo nel modello di Dirac

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Anche a Ĉ si associa un’equazione agli autovalori:

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Non è difficile verificare che, poiché in Ĥ compare e2Ĉ ed Ĥ commutano tra loro. Si può dunque ripetere lo stesso discorso appena fatto per l’operatore parità; applicando Ĉ a sinistra ad entrambi i membri della precedente, si trova:

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Dunque, c = ± 1. Questo si esprime dicendo che, così come ho solo due stati di parità, pari o dispari, posso avere solo due stati di carica:

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e tutte le funzioni d’onda quanto-relativistiche obbediscono a questa proprietà.

Infine, è possibile introdurre un terzo operatore, quello di inversione rispetto al tempo:

t → – t

in modo che:

Meccanica quantistica: la simmetria CPT 18

Lascio al lettore volenteroso il compito di verificare che anche l’operatore T commuta con l’hamiltoniano, e che una qualunque funzione d’onda può essere solo pari o dispari rispetto all’inversione temporale:

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Perchè abbiamo introdotto questi tre operatori? Perchè nella descrizione relativistica delle particelle elementari è necessaria l’invarianza della trasformazione composta CPT.

Questo è noto con il nome di Teorema CPT, e fu formulato nel 1954 da Julian Schwinger (1918-1994), Gerhart Lüders (1920-1995) e Wolfgang Pauli (1900-1958). Nella Fisica delle Particelle risulta molto importante la scoperta che questo teorema può essere violato.

Infatti, a proposito di quanto detto su materia ed antimateria, se il Teorema CPT fosse sempre verificato, nell’universo noi dovremmo avere tanta materia quanta antimateria.

Ma se così fosse, nei primi istanti di vita del cosmo tutte le antiparticelle si sarebbero annichilate con le corrispondenti particelle, e l’universo come lo vediamo oggi non sarebbe mai nato. Il fatto è che ben presto si accumularono gli indizi di una possibile violazione della simmetria CPT.

Già nel 1956 i fisici teorici cinesi Tsung-Dao Lee (李政道, 1926-) e Chen Ning Yang (楊振寧, 1922-) dell’Università di Chicago, allievi di Enrico Fermi, proposero che la parità non dovesse essere conservata in caso di decadimento dovuto alla Forza Nucleare Debole, e nel 1957 la loro collega Wu Chien Shiung (吳健雄, 1912-1997) dimostrò che il cobalto-60 ha una direzione privilegiata in cui emette elettroni quando va incontro a decadimento beta, osservando questa violazione della conservazione della parità.

Anche con la violazione della parità si pensava che la combinazione di coniugazione di carica e parità avrebbe lasciato il sistema invariante: si parla a tal proposito di invarianza CP.

Tuttavia nel 1964 James Watson Cronin (1931-2016) e Val Logsdon Fitch (1923-2015) dell’Università della California a Berkeley dimostrarono con uno straordinario esperimento che esisteva una piccola violazione dell’invarianza CP nel decadimento del mesone K o kaone. Il fatto che questi fenomeni violino il Teorema CPT ci dice che la produzione di particelle e di antiparticelle può essere asimmetrica.

Wu Chien Shiung con Wolfgang Pauli
Wu Chien Shiung con Wolfgang Pauli

Il sospetto è ormai diventato quasi certezza il 21 marzo 2019, quando è stato annunciato che l’esperimento LHCb presso il Large Hadron Collider del CERN di Ginevra ha dimostrato per la prima volta come le particelle contenenti un quark charm si comportano in modo leggermente diverso dalle loro rispettive antiparticelle quando decadono.

Questa differenza si manifesta in particolare nelle particelle chiamate mesoni D0 con la violazione della simmetria CP. L’entità della violazione, hanno sottolineato con cautela i ricercatori, è ancora insufficiente per spiegare l’asimmetria tra materia e antimateria che si osserva in natura, ma il risultato conferma che si è sulla buona strada per cercare nuovi processi di violazione di CP non solo nelle particelle contenenti il quark charm, ma anche per altri tipi di quark.

Proprio grazie a fenomeni come questo, all’inizio del tempo, circa un elettrone su un miliardo e un protone su un miliardo riuscirono a scampare alla reciproca annichilazione con le rispettive antiparticelle, e furono proprio queste particelle superstiti a dare vita al cosmo, alle galassie, alle stelle, all’uomo. E anche a Paul Dirac, senza il quale tutto questo non sarebbe mai stato neppure sognato.

Nuovi rilevamenti nelle stelle di neutroni

Nuovi risultati ottenuti dai rilevatori di particelle di precisione presso il Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) offrono un nuovo assaggio delle interazioni tra particelle che si svolgono nei nuclei delle stelle di neutroni. Le nuove rivelazioni potrebbero permettere ai fisici nucleari di trovare violazioni delle simmetrie fondamentali nell’universo.

I risultati, pubblicati su Nature Physics, sono stati ottenuti grazie al potente collettore di ioni dell’RHIC, struttura del Dipartimento dell’Energia degli Stati Uniti per la ricerca di fisica nucleare presso il Brookhaven National Laboratory del DOE.

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I componenti interni del rivelatore Star presso il Relativistic Heavy Ion Collider (a destra) consentono agli scienziati di individuare le tracce delle particelle generate dal decadimento di ipertritoni e anti-ipertritoni, raccolte nelle regioni esterne del rivelatore (a sinistra). Crediti: Bnl

Le misurazioni di precisione rivelano che l’ energia di legame che tiene insieme i componenti di un nucleo estraneo, noto come “ipertritone”, è maggiore di quella ottenuta da precedenti esperimenti. Il nuovo valore potrebbe avere importanti implicazioni astrofisiche per la comprensione delle proprietà delle stelle di neutroni.

La seconda misurazione è stata la ricerca di una differenza tra la massa dell’ipertritone e la sua controparte di antimateria, l’antipertritone. I fisici non hanno mai trovato una differenza di massa tra i partner materia-antimateria, quindi vederne una sarebbe una grande scoperta. Sarebbe la prova della violazione del “CPT” – una violazione simultanea di tre simmetrie fondamentali in natura relative all’inversione di carica, parità (simmetria specchio) e tempo.

Stando alle parole del fisico di Brookhaven – Zhangbu Xu, portavoce dell’esperimento STAR di RHIC, non è mai stata rilevata una violazione CPT nell’ipertritone e nell’antipertritone. Il precedente test CPT del nucleo più pesante non ha mostrato differenze significative.

Individuare una violazione CPT è un compito arduo

violazione simmetriaI più semplici nuclei di materia normale contengono solo protoni e neutroni, con ognuna di quelle particelle costituite da quark ordinari. Negli ipertritoni, un neutrone viene sostituito da una particella chiamata lambda, che contiene uno strano quark insieme alle normali varietà.

Tali strane sostituzioni di materia sono comuni nelle condizioni ultra-dense create nelle collisioni di RHIC. Questo perché l’alta densità rende meno costoso dal punto di vista energetico produrre strani quark rispetto alle normali varietà.

Per questo motivo, le collisioni RHIC offrono ai fisici nucleari un modo per scrutare le interazioni subatomiche all’interno di oggetti stellari distanti senza mai lasciare la Terra. E poiché le collisioni RHIC creano ipertritoni e antiipertritoni in quantità quasi uguali, offrono anche un modo per cercare la violazione della CPT.

Tuttavia trovare quelle rare particelle tra le migliaia che scorrono da ogni frammento è un compito arduo. Aggiungiamo alla sfida il fatto che queste particelle instabili decadono non appena si formano, a pochi centimetri dal centro del rivelatore STAR largo quattro metri.

I nuovi componenti del rivelatore STAR potrebbe portare ad una nuova scoperta

Fortunatamente, i nuovi componenti del rivelatore STAR per tracciare diversi tipi di particelle hanno reso la ricerca un gioco da ragazzi. Questi componenti, chiamati “Heavy-Flavor Tracker”, si trovano molto vicino al centro del rivelatore STAR. Questi componenti interni consentono agli scienziati di tracciare le particelle dal loro punto di origine.

La compilazione di dati provenienti da molte collisioni putroppo non ha rivelato alcuna prova di violazione della CPT. Ma quando i fisici di STAR hanno esaminato i loro risultati per l’energia di legame dell’ipertritone, si è scoperto che era più grande delle precedenti misurazioni degli anni ’70.

I fisici STAR hanno calcolato l’energia di legame sottraendo il loro valore per la massa dell’ipertritone dalle masse conosciute combinate delle sue particelle elementari: un deuterone e un lambda.

“L’ipertritone pesa meno della somma delle sue parti perché parte di quella massa viene convertita nell’energia che lega i tre nucleoni insieme”, ha detto il collaboratore STAR dell’Università di Fudan – Jinhui Chen.

“Questa energia di legame è davvero una misura della forza di queste interazioni, quindi la nostra nuova misurazione potrebbe avere importanti implicazioni per la comprensione dell’equazione di stato delle stelle di neutroni”, ha aggiunto.

Ad esempio, nei calcoli del modello, la massa e la struttura di una stella di neutroni dipendono dalla forza di queste interazioni. “C’è un grande interesse nel capire come queste interazioni siano diverse tra i nucleoni ordinari e gli strani nucleoni”, ha detto Chen. “Poiché questi ipernuclei contengono una sola lambda, questo è uno dei modi migliori per fare confronti con previsioni teoriche. Riduce il problema nella sua forma più semplice.”

Riferimenti e approfondimenti

  1. Nature Physics  “Measurement of the mass difference and the binding energy of the hypertriton and antihypertriton” della Collaborazione Star
  2. Sozzi, M.S., Discrete symmetries and CP violation, Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-929666-8.
  3. Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, Wiley, John & Sons, Inc, 1987, ISBN 0-471-60386-4.
  4. R. F. Streater and A. S. Wightman, PCT, spin statistics and all that, Benjamin/Cummings, 1964, ISBN 0-691-07062-8.
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