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Le trasformazioni conformi

In matematica, in particolare nella geometria conforme, una  mappa conforme è una funzione che conserva gli angoli. Più formalmente, una mappa

w = f(z)

è detta conforme (o che preserva gli angoli) in  se conserva gli angoli orientati tra le curve passanti per , come anche la loro orientazione, cioè rimane invariato l’angolo tra le tangenti delle curve passanti per . Le mappe conformi conservano sia gli angoli che la forma di figure infinitesimalmente piccole, ma non necessariamente le loro dimensioni.

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Mappa conforme di una funzione complessa

La proprietà di essere conforme può essere descritta in termini del Jacobiano. Se la matrice jacobiana della trasformazione è ovunque uno scalare moltiplicato per una matrice di rotazione, allora la trasformazione è conforme.

È impossibile che una proiezione sia contemporaneamente conforme ed equivalente (ossia che mantenga i rapporti tra le superfici). Ne sono un esempio la proiezione di Mercatore e le proiezioni stereografica e centrografica.

1) Trasformazione conforme : È una trasformazione la quale possiede la proprietà di conservare gli angoli (la angolo tra 2 curve regolari qualsiasi intersecantisi in un punto z è uguale in modulo e senso di rotazione alla angolo tra le loro immagini) e di dilatare in modo costante (segmenti infinitamente piccoli si trasformano in segmenti simili). In altri termini una applicazione è detta conforme se biunivoca ed avente la proprietà di costanza delle dilatazioni e di costanza degli angoli.

2) Condizione necessaria e sufficiente per la conformità : Una applicazione è conforme Û la funzione di una variabile complessa è univoca, analitica e la sua derivata è diversa da 0 in ogni punto del dominio.

3) Applicazione conforme di seconda specie : Si tratta di una applicazione la quale conserva i valori assoluti degli angoli formati da 2 curve e dalle loro immagini ma non ne conserva il senso. Si tratta di applicazioni prodotte da funzioni di una variabile complessa che siano funzioni complesse coniugate di funzioni analitiche con derivata mai nulla.

4) Effetto di una applicazione lineare : Fornisce una dilatazione simile del piano z ed una traslazione della origine delle coordinate, può pertanto essere utilizzata per costruire applicazioni conformi di figure simili.

5) Quando la funzione 1/z applica una circonferenza su di una retta : Quando la circonferenza passa per l´origine.

6) Effetto della funzione potenza : Essa applica un settore circolare su tutto il piano tagliato , è una applicazione conforme per tutti i punti ad eccezione dei punti di frontiera z = 0  e  z = ¥  nei quali la derivata prima si annulla.

7) Effetto di una applicazione esponenziale : Applica biunivocamente ogni striscia parallela alla asse reale su tutto il piano tagliato, possiede derivata diversa da 0 e pertanto è una applicazione esponenziale.

8)Principi generali delle applicazioni conformi :

a)    Corrispondenza biunivoca tra il dominio e l´immagine

b)    Occorre controllare solo che la funzione cercata applichi la frontiera del dominio sulla frontiera della immagine.

c)    Principio di simmetria

9) Principio di corrispondenza delle frontiere : Sia G un dominio limitato da un contorno g sul quale è definita una funzione analitica univoca f(z) continua che applichi in modo biunivoco il contorno g su di una curva chiusa G del piano complesso w Þ se in tale applicazione di curve chiuse si conserva il verso di rotazione, la funzione f(z) dà un´applicazione conforme del dominio G sul dominio interno limitato dal contorno G.

Si dimostra applicando il teorema della argomento alle funzioni ausiliarie F1(z) = f(z) – w1  e  F2(z) = f(z) – w2    dove w1 è un punto interno a G e w2 è invece un punto esterno si ottiene

 Le trasformazioni conformi 1  

ed anche

Le trasformazioni conformi 2  

ciò vuol dire che non si ha mai f(z) = w2  essendo w2 un generico punto esterno al dominio e che la applicazione è biunivoca infatti esiste un solo zero di f(z) = w1 .

10) Se f(z) è analitica nel dominio eccetto che per un punto di singolarità, allora applica l´interno del bordo del dominio sull´esterno del circuito che è immagine del bordo del dominio.

11) Teorema di Riemann : Ogni dominio G semplicemente connesso del piano complesso z, la cui frontiera consiste di più di un punto, può essere applicato in modo conforme sull´interno del cerchio unitario |w|<1 del piano w.

12) La funzione f(z) che produce una applicazione conforme di un dominio dato sempliecemente connesso G sul cerchio unitario in modo che z0 vada nell´origine e argf ´(z0) è una costante è definita in modo unico:

13) Funzione razionale lineare : È una funzione avente la forma

 Le trasformazioni conformi 3  ,

realizza una applicazione conforme a patto che si verifichi la iniettività, in particolare dati 2 punti z1 e z2 essi hanno immagine diversa se Le trasformazioni conformi 4 come si ottiene ponendo

 Le trasformazioni conformi 5  .

Equivalente si può scrivere

Le trasformazioni conformi 6      con   Le trasformazioni conformi 7        Le trasformazioni conformi 8         Le trasformazioni conformi 9

per ottenere le quali basta raccogliere i coefficienti della z sia al numeratore che al denominatore.

14) Punti simmetrici rispetto ad una circonferenza : I punti P e P´ sono simmetrici rispetto alla circonferenza C se giacciono su uno stesso raggio passante per il centro della circonferenza ed il prodotto delle loro distanze dal centro è uguale al quadrato del raggio della circonferenza.

15) Una funzione razionale lineare è definita in modo unico se è assegnata una corrispondenza fra 3 distinti punti del piano z e 3 distinti punti del piano w.

16) Proprietà della funzione razionale lineare :

a)    trasforma le circonferenze del piano z in circonferenze del piano w

b)    i punti simmetrici rispetto ad ogni circonferenza si trasformano in punti simmetrici rispetto all´immagine di questa circonferenza.

17) Figura biangolare : Si tratta di una figura piana costituita dall´intersezione degli archi di 2 circonferenze di raggi in generale distinti.

18) Funzione di Zukovsky : È la funzione

 Le trasformazioni conformi 10 ,

derivandola si vede che è conforme ovunque tranne che nei punti +1  e   -1.

Complementi:

L’applicazione comforme trasforma circonferenze centrate nell´origine in ellissi ed i raggi uscenti dall´origine in iperboli. Fino a questo punto non abbiamo nessuna particolare utilità a rappresentare il moto nel piano complesso. Ma ora è il momento di introdurre le trasformazioni conformi. Sia

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una funziona analitica. Accanto al piano z consideriamo il piano

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La precedente funzione associa ogni punto nello spazio z ad un punto nello spazio z‘ cioè trasforma un piano nell’altro. Tale trasformazione si dice conforme perché conserva gli angoli, nel senso che se due linee nel piano z si intersecano secondo un angolo, le due linee trasformate di queste nel piano z‘ si intersecano secondo lo stesso angolo. In particolare a due famiglie di curve mutuamente ortogonali nel piano z corrispondono due famiglie di curve mutuamente ortogonali nel piano z‘. Ne seguirà che la trasformazione conforme fa corrispondere le linee equipotenziali e di corrente di un moto irrotazionale ideale nel piano z a quelle di un altro moto irrotazionale ideale nel piano z‘.

Sia dunque dato nel piano z un campo di moto di potenziale complesso W(z). La funzione

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è analitica perché la sua derivata

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esiste ed è unica perché tali sono le derivate a secondo membro.

Ne segue che W‘ è il potenziale complesso di un moto irrotazionale ideale nel piano z‘.

Siano P e P‘ due punti corrispondenti nel piano z e z‘: sarà

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per cui

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quindi nei punti corrispondenti dei due piani i due potenziali hanno lo stesso valore.

La circolazione rimane immutata, poiché è data, nei due piani, rispettivamente dagli integrali

displaymath254

che sono uguali perché lungo le due linee C e C‘, che sono l’una la trasformata dell’altra, il potenziale assume lo stesso valore.

Particolare importanza per lo studio dei moti intorno a profili alari ha la trasformazione di Joukowski, che consente di trasformare il dominio esterno ad un cilindro nel dominio esterno ad un profilo di cui è possibile variare spessore e curvatura.

 

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