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Meccanica quantistica: la funzione d’onda e i principi fondamentali

“Non esiste un mondo quantistico. C’è soltanto una descrizione quantistica astratta.”   Niels Bohr

De Broglie pone le basi di una nuova meccanica, ma non fu lui a coglierne i frutti. Subito dopo la pubblicazione dei suoi lavori, infatti, due giovani talenti, uno tedesco ed uno austriaco, un misero al lavoro e un morto vita a due diverse formule della nuova meccanica che, come anticipato, è dovuto la ragione di TUTTI i fenomeni del mondo microscopico, sopperendo ai limiti di quella di Newton.

Erwin Schrödinger
Erwin Schrödinger

A Vienna, Erwin Schrödinger (1887-1961) elaborò la cosiddetta meccanica ondulatoria, scrivendo l’equazione a cui ogni onda di materia deve obbedire, ed a cui dedicheremo il prossimo capitolo; invece a Gottinga, città della Bassa Sassonia, Werner Heisenberg (1902-1976) elaborò una teoria parallela, detta meccanica delle matrici, che parte da presupposti completamenti diversi, ma per raggiungere le stesse identiche conclusioni.

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) avrebbe formulato un terzo approccio ancor più avanzato dal punto di vista formale, la cosiddetta meccanica dei vettori di stato, anch’essa convergente ai risultati degli altri due.

Questo è molto importante, perché ci aiuta a capire il significato profondo del formalismo matematico, il quale non è connaturato nella realtà, come sosteneva Galileo, il quale arriva ad affermare che «la Matematica è l’alfabeto con cui Dio ha scritto l’universo ».

È invece un armamentario ideato dall’uomo, con lo scopo di interpretare tutta la complessità del mondo reale. Come ha fatto argutamente notare George Gamow, il grande fisico e divulgatore scientifico che abbiamo già citato nel capitolo precedente, le balene e i delfini (= la meccanica ondulatoria) non ha nulla di comune in i cavalli e gli elefanti (= meccanica delle matrici), eppure sono tutti mammiferi. Entrambe le teorie sono cioè aspetti diversi di quella nuova fisica che va sotto il nome di meccanica quantistica.

La funzione d’onda

Noi approfondiremo alcuni aspetti matematici della meccanica ondulatoria, che tra tutte è sicuramente quella dal formalismo matematico meno difficile, ma dovremo comunque far ricorso a molti strumenti propri dell’Analisi Matematica. Oggetto della meccanica ondulatoria è la funzione d’onda Ψ (xt), che descrive la forma dell’onda di materia associata alla particella:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 1

Se è così, la sua intensità è costante in ogni punto. Infatti:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 2

Ciò crea un grosso problema, perchè dire che | Ψ (xt) |2 = costante significa dire che l’indeterminazione sulla posizione è totale. Sarebbe come dire che, secondo un radar, un aereo è “uniformemente distribuito” su tutto l’Oceano Atlantico, perchè l’intensità del segnale da esso emesso è costante in ogni punto.

Ma, se io faccio diffrangere la particella (cioè la sua funzione d’onda) attraverso una fenditura opportuna, ottengo una figura di diffrazione dotata di massimi e minimi di intensità, per cui la posizione della particella non è del tutto indeterminata. In altre parole, prima dell’urto non riesco ad individuare la particella, ma dopo sì!

La soluzione di questo paradosso sta nell’associare alla particella, prima dell’interazione con il reticolo di diffrazione, non un’onda piana monocromatica, bensì un pacchetto di onde, cioè una successione di onde piane, il cui vettore d’onda e la cui pulsazione variano con continuità dentro determinati intervalli Δk e Δω. Al pacchetto d’onde si attribuisce allora una velocità di gruppo vg, data da:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 3

mentre la velocità di fase vf di una singola onda monocromatica è:

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Allora la posizione della particella in ogni istante può essere descritta dalla formula classica:

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Erwin Schrödinger chiamò Ψ (xt) la funzione d’onda, ed ogni situazione fisica descritta da essa si dice stato quantistico. Vale allora il:

Principio di sovrapposizione degli stati:

Se le condizioni fisiche di un sistema sono tali per cui esso può essere descritto da più di una funzione d’onda, è uno stato ammissibile anche una loro combinazione lineare:

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Ciò è importante, perchè ci dice che la meccanica ondulatoria è lineare. Uno stato descritto da una combinazione lineare di n stati diversi si chiama stato misto:

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Se, come nel pacchetto d’onde, k varia con continuità tra ( k0 – Δk ) e ( k0 + Δk ), allora i termini della sommatoria diventano infiniti, ciascuno dei quali è infinitesimo:

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Allora dobbiamo adoperare gli strumenti dell’Analisi Matematica, e la sommatoria diventa un integrale:

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Supponiamo che αk vari molto poco con k, ed estraiamolo dall’integrale. Ora, l’ottica ci dice che lunghezza d’onda e pulsazione sono legate tra di loro da quella che si chiama relazione di dispersione ω = ω(k). Per trovare la relazione di dispersione dell’onda di materia, ricordiamo che:

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dove p è la quantità di moto della particella. Uso allora le due equazioni di de Broglie:

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ed ho:

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Dunque la relazione di dispersione ha aspetto parabolico. Noi la linearizzeremo nell’intorno di ( k, ω0 ), confondendo la parabola con la tangente ad essa in questo punto:

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Nel nostro caso la velocità di gruppo vg vale:

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Dunque la velocità di gruppo del pacchetto d’onde è pari alla velocità delle particelle nel punto in cui k = k0 (si chiama il “centro” del pacchetto). Ora cambio le variabili, chiamando ξ = k – k0 e di conseguenza dξ = dk. Se k = k0 – Δk, allora ξ = – Δk. Se k = k0 + Δk, allora ξ = + Δk. Allora:

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e dunque:

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L’integrale (5.1) sopra scritto perciò diventa:

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Se ne deduce che la soluzione è una funzione di x – v0 t ), cioè è un’ONDA la cui velocità è quella di gruppo calcolata in k = k0. Abbiamo così:

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e ricordando che:

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si ottiene:

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L’intensità dell’onda diffratta è proporzionale al modulo quadrato di questa funzione d’onda:

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Se rappresento la precedente in funzione di x, mi accorgo che il risultato è:

Meccanica quantistica

Essa assomiglia incredibilmente ad una figura di diffrazione

diffrazione

È così spiegato, alla luce della Meccanica Ondulatoria, il fenomeno della diffrazione degli elettroni. Naturalmente non abbiamo ancora capito quale sia il significato fisico di questa benedetta “funzione d’onda”, problema che assillò fin da subito lo stesso Schrödinger, cioè il suo padre creatore.

In verità, egli riteneva (almeno inizialmente) che essa avesse un significato materialistico, e cioè che, dopo la diffrazione, la particella effettivamente “si sciogliesse” e “si distribuisse” su tutto il fronte d’onda, presentando i massimi e i minimi che caratterizzano la figura di diffrazione sopra vista. Quest’idea apparve fin dal principio poco realistica, e fu Max Born a suprearla brillantemente.

Il Principio di Indeterminazione

Consideriamo l’ampiezza del massimo centrale nella figura di diffrazione (5.2) ricavata nel paragrafo precedente. Esso è largo come minimo il doppio dei primi minimi di intensità dell’onda diffratta, e dunque deve essere:

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da cui:

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Ma si ha:

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e quindi:

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Questa relazione è importantissima, e fu ricavata dal grande fisico tedesco Werner Karl Heisenberg (1901-1976) quando aveva solo 25 anni, nel suo celebre articolo « Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen.

Kinematik und Mechanik » (“Sul contenuto intuitivo della cinematica e della meccanica quantistica”), pubblicato il 23 marzo 1927 sullo “Zeitschrift für Physik”. In seguito Heisenberg la ricavò nuovamente dalla sua meccanica delle matrici in forma più precisa, che è quella oggi utilizzata:

  Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 26        (5.3)

Essa prende il nome di principio di indeterminazione di Heisenberg.

Il prodotto dell’indeterminazione sulla posizione e di quella sulla quantità di moto di una particella quantistica è maggiore o uguale della costante di Dirac divisa per 2.

La sua importanza risiede nel fatto che esso pone un limite invalicabile alla precisione delle misure sperimentali, e quindi alla stessa conoscenza umana. Il significato di Δx e di Δp è quello di indeterminazione sulle misure, nel senso che la posizione del corpuscolo è compresa fra ( x0 – Δx ) e ( x0 + Δx ) e la sua quantità di moto è compresa fra ( p0 – Δp ) e ( p0 + Δp ), è evidente che quanto meglio conosco la posizione, tanto peggio conosco la quantità di moto, e viceversa.

Infatti, x e p sono le due coordinate con cui si studia l’evoluzione dei sistemi meccanici in quello che viene chiamato “spazio delle fasi”; x e p sono infatti due grandezze “canonicamente coniugate”. Allora, rappresentando l’evoluzione di un sistema nello spazio delle fasi, ogni punto di questo rappresenta lo stato dinamico del sistema, caratterizzato da una posizione x e da una quantità di moto p.

In realtà, siccome le due grandezze sono afflitte rispettivamente da un’indeterminazione Δx e Δp, il sistema può trovarsi in uno qualunque degli stati dinamici contenuti nel rettangolo [ x0 – Δx ; x0 + Δx ] x [ p0 – Δp ; p0 + Δp ]. L’area di questo rettangolo dev’essere maggiore o uguale ad h, secondo la (5.3), per cui al crescere di Δx diminuisce Δp, e viceversa, come mostrano i diagrammi seguenti:

principio di indeterminazione

Se cerco di migliorare la precisione con cui conosco x, cioè se cerco di diminuire Δx, inevitabilmente devo allargare Δp, e quindi peggiorare la precisione con cui conosco p. Al limite, se conosco perfettamente la posizione, se cioè Δx = 0, si ha Δp → ∞, e non conosco più nulla su p, e viceversa! Quest’ultimo caso è quello dell’onda piana monocromatica, con velocità precisamente conosciuta, ma posizione assolutamente indeterminata, o meglio delocalizzata su tutta l’onda!

Ciò ha conseguenze esplosive sulla meccanica delle particelle elementari, perchè la mia capacità di individuare la particella e di conoscerne il moto ha dei limiti insuperabili. Non a caso, un mostro sacro come Albert Einstein si rifiutò sempre di accettare le conseguenze del Principio di Indeterminazione, pronunciando la frase storica: « Gott würfelt nicht », cioè « Dio non gioca a dadi » (al che Bohr rispose con una frase altrettanto famosa: « Albert, smettila di dire a Dio ciò che deve fare»)

Ma perchè Einstein negò la validità del Principio di Heisenberg? In altre parole, perchè è impossibile descrivere con precisione la vera traiettoria di una particella? Cosa ce lo può impedire?

Allo scopo, consideriamo un esperimento mentale (in tedesco lo si chiama Gedankenexperiment) suggerito dallo stesso Heisenberg. Prendiamo in considerazione una camera stagna in cui è stato praticato il vuoto perfetto, idealmente togliendo fino all’ultima molecola, e montiamo in essa un cannone C, una lampadina L e un telescopio T, quest’ultimo orientabile a piacimento.

Il cannone spara un elettrone in direzione orizzontale; in assenza di campi magnetici, se la camera è ben schermata, l’elettrone seguirà una traiettoria parabolica. Sulla parete opposta della camera, il telescopio T registra tutti i singoli fotoni emessi dalla lampadina L che vengono riflessi dall’elettrone e. Con questa tecnica, è possibile agire con precisione assoluta il moto dell’elettrone, e quindi stabilirne la corretta traiettoria:

Meccanica quantistica

C’è però un problema. Il fotone ha una sua energia cinetica, come ci insegna la Teoria della Relatività, ed essa è in grado di “spostare” l’elettrone dalla sua traiettoria: si parla in proposito di pressione di radiazione. Se voglio poter descrivere il moto dell’elettrone indipendentemente da qualunque azione esterna, devo essere in grado di rendere questo disturbo infinitamente piccolo.

Allo scopo, decidiamo di “discretizzare” la traiettoria, considerando solo 10 posizioni dell’elettrone in 10 istanti diversi, e facendo lampeggiare la lampadina solo in 10 istanti, come un faro a luce stroboscopica da discoteca.

Così eliminiamo la pressione di radiazione mentre non stiamo osservando la particella. Se queste “spinte”sono ancora sufficienti a far deviare la particella, riduciamo l’intensità luminosa della lampadina, il che si può fare a piacimento, poiché nella Fisica Classica non vi è alcun limite alla quantità di energia associata all’emissione luminosa, né all’assorbimento della luce riflessa. Devo naturalmente aumentare anche la sensibilità del telescopio, che può essere sostituito da una qualunque rivelatore, e così la perturbazione sull’elettrone diventa piccola a piacere.

Allora, anziché 10 osservazioni posso eseguirne 100, così da ottenere una definizione più precisa della traiettoria, pur di diminuire contemporaneamente l’intensità della lampadina e di aumentare in corrispondenza la sensibilità del rivelatore. Se uso una lampadina 10 volte più fioca e un rivelatore 10 volte più potente, posso permettermi di colpire l’elettrone 100 volte anziché 10, senza aumentare sensibilmente il disturbo.

Naturalmente nessuno mi impedisce di compiere 1000, 10.000, 100.000 osservazioni, a patto di ritoccare ogni volta lampadina e telescopio. Il problema però sta nel fatto che, per quanto piccolo può essere l’elettrone, la sua immagine sullo schermo non può essere più piccola della lunghezza d’onda λ della radiazione utilizzata, per via dei ben noti fenomeni di diffrazione.

Per ovviare a tali fenomeni, sfrutteremo radiazioni di frequenza via via maggiore: raggi X, raggi γ, eccetera. Nella Fisica Classica non c’è limite alla frequenza delle onde elettromagnetiche, per cui il diametro della figura di diffrazione può essere reso piccolo a piacere.

Ora, Heisenberg mise in chiaro che tutto questo si muove nel campo della più pura fantascienza: il procedimento ora descritto è inattuabile per via dell’esistenza dei quanti di luce. Essi pongono un limite ultimo sia all’energia associata alla radiazione che alla sua lunghezza d’onda.

La più piccola energia associata ad un singolo flash è ( h f ), dove f è la frequenza della luce, e quindi la quantità di moto che il fotone attribuisce all’elettrone non può in alcun caso essere inferiore ad ( h f / c ). Dunque, aumentando il numero di osservazioni aumenta anche il numero di disturbi, per cui la traiettoria non seguirà una parabola, bensì piuttosto un moto a zig-zag simile al moto browniano.

Per diminuire il disturbo dovrei diminuire la frequenza f, cioè aumentare la lunghezza d’onda, fino a farla diventare grande quanto l’intera camera stagna. Ma allora, invece di osservare la traiettoria della particella, vedrei solo dei grandi cerchi di diffrazione che riempirebbero l’intero campo visivo. Nessuna speranza, dunque, di “vedere” la “vera” traiettoria della particella.

Siccome io non vedo un punto materiale, bensì la figura di diffrazione prodotta dalla particella, l’indeterminazione Δx sulla posizione dell’elettrone è maggiore o uguale alla lunghezza d’onda di de Broglie dell’elettrone, cioè:

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Essendo Δp = h f / c, ne segue proprio:

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che è precisamente la relazione di indeterminazione di Heisenberg! Se ne deduce che l’impossibilità di conoscere con precisione la posizione e lo stato di moto di una particella discende dall’interazione di questa con il metodo di osservazione.

Infatti, pensandoci bene, per osservare fenomeni su scala così piccola dobbiamo necessariamente vederli, cioè illuminarli con fotoni. Se l’energia di questi fotoni è di gran lunga inferiore a quella dell’oggetto che sto osservando, come per esempio nel caso di una palla da biliardo, va tutto bene, e mi muovo nell’ambito della Fisica Classica e delle sue traiettorie perfettamente determinate.

Questo è il caso dello studio di tutti i fenomeni macroscopici, fino all’ordine di grandezza di un virus. Ma se io ho a che fare con particelle quantistiche, la loro energia è paragonabile a quella dei fotoni con cui li osservo, e quindi non c’è speranza di evitare la loro interazione con i fotoni di osservazione.

Così come quando misuro la temperatura con un termometro, io misuro in realtà l’interazione tra sistema e termometro, così io non riesco ad osservare altro che un sistema inevitabilmente perturbato, che ha perso tutte le sue caratteristiche originarie!

Il problema sta dunque tutto nella misura: se non c’è strumento di osservazione, il sistema è osservabile, ma, non appena ci metto lo strumento, il sistema non è più osservabile nella sua forma originaria. In verità, “conoscere” significa “osservare”, ma “osservare” significa “perturbare”! Non si può osservare un sistema microscopico indipendentemente dal dispositivo adoperato per studiarlo!

Concludendo: nella Meccanica Classica, una particella di materia si muove in un solo stato possibile per volta; in quella ondulatoria, invece, si ha un diverso stato di moto a seconda di come la misuriamo.

Oltre il limite semiclassico

Vediamo di applicare queste conclusioni al modello atomico elaborato da Bohr e Sommerfeld. Consideriamo una palla da biliardo del peso di 225 grammi (per regolamento una palla da biliardo pesa tra 224 e 228 grammi). Poiché d’ora in poi useremo il Principio di Heisenberg nella forma data dalla (5.3), quest’ultima si può riscrivere:

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Avremo perciò:

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La si può soddisfare ponendo Δx = 10–15 m e Δv = 2,5 x 10–19 m / s. Dunque l’errore che si commette nel valutare la posizione della particella è dell’ordine delle dimensioni del nucleo atomico, e quello che si commette nel misurare la velocità è dell’ordine di 8 millimetri ogni miliardo di anni.

Tenendo conto degli inevitabili errori di misura dovuti ad imperfezioni degli strumenti o del nostro occhio, se ne deduce che la posizione e la velocità della palla da biliardo sono entrambe perfettamente conosciute.

Del resto, se osserviamo le figure qui sotto, si osserva che, se la lunghezza d’onda di de Broglie è paragonabile all’ampiezza d della fenditura attraverso ci passano i corpuscoli, si ottiene una “vera” figura di diffrazione, per cui ci troviamo nel mondo della meccanica ondulatoria, ma se λ << d, allora il risultato è una figura rettangolare, il cui spessore è dato dall’ampiezza della fenditura, esattamente come la luce solare, attraversando il buco di una serratura, proietta un’ombra identica alle dimensioni del buco stesso.

principio di indeterminazione

Dunque, λ << d si dice il limite semiclassico; se questa condizione è soddisfatta, la meccanica quantistica NON è necessaria, e si possono usare gli strumenti della meccanica classica.

Non è perciò esatto parlare di “crisi” della meccanica classica, perchè essa non diventa affatto inutile dall’oggi al domani; al contrario, è la meccanica quantistica che risulta inutile per descrivere i fenomeni macroscopici. Infatti, consideriamo una persona di 70 kg che attraversa una porta larga un metro alla velocità di un metro al secondo.

La lunghezza d’onda di de Broglie associata a quella persona è pari ad h / m v ≈ 10–35 m, e quindi il limite semiclassico è perfettamente soddisfatto. Ci rendiamo conto del fatto che l’inapplicabilità della meccanica quantistica al mondo macroscopico è legato all’estrema piccolezza di h.

La larghezza d’onda dell’uomo che attraversa la porta è così assurdamente piccola (20 ordini di grandezza più piccola del nucleo atomico) perchè anche h è incredibilmente piccola. Se invece h valesse per esempio 6,62 J s, il nostro amico avrebbe una lunghezza d’onda associata di circa un metro, paragonabile alla larghezza della porta, e quindi diffrangerebbe attraverso la porta.

I fenomeni ondulatori allora si manifesterebbero anche nel mondo macroscopico, e l’uomo vivrebbe in un universo quantistico. Notiamo che, se intendiamo come la scala di grandezze su cui la nostra particella si muove, la condizione semiclassica:

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si può riscrivere:

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E siccome m v d rappresenta il momento angolare L della nostra particella, se ne deduce che il limite semiclassico si può esprimere nella forma L >> h; dunque, la costante di Planck rappresenta la scala dei momenti angolari sulla quale si verificano i fenomeni quantistici. Ora, si è visto che nel modello di Bohr gli elettroni idrogenoidi hanno momento angolare:

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per cui essi manifestano un comportamento tipicamente ondulatorio. Questo rappresenta la fine del sogno dei primi decenni del Novecento di interpretare l’atomo come un vero sistema planetario, nel quale gli elettroni seguono orbite ellittiche nel senso classico, e spiana la strada ad un nuovo modo di interpretare le strutture atomiche: è quello che si chiama il modello quantistico dell’atomo, o modello ad orbitali.

In esso, l’elettrone non segue una vera e propria orbita, ma si trova delocalizzato in una certa regione di spazio attorno al nucleo, che prende il nome di orbitale atomico, ciascuno caratterizzato, come vedremo, da una terna di numeri quantici: nlm.

Lo “Spirito di Copenaghen”

Dobbiamo però ancora risolvere un grosso problema: che cos’è mai, la funzione d’onda associata ad una particella quantistica? De Broglie rispose che è l’onda in grado di “guidare” l’onda lungo il suo percorso, definizione questa in verità un po’ “mistica”.

Schrödinger sostenne invece che si tratta veramente della distribuzione della particella nello spazio, come se essa si “sciogliesse” per ricomporsi solo quando le circostanze lo richiedono, un po’ come Flint Marko, alias l’Uomo Sabbia, uno dei più celebri antagonisti dell’Uomo Ragno, il quale era in grado di scomporre il suo corpo in sabbia e ricomporlo a piacimento.

È evidente che nessuna di queste spiegazioni è soddisfacente. Conscio di questo problema, fu ancora Niels Bohr, uno dei “grandi vecchi” della Meccanica Quantistica, autore della teoria quantistica dell’atomo d’idrogeno, a formulare nel 1928 un tentativo di escamotage per uscire da questo vicolo cieco. Suo è infatti il cosiddetto:

Principio di complementarità

Se un esperimento permette di osservare un aspetto del fenomeno fisico (ad esempio l’aspetto corpuscolare), esso impedisce anche di osservare al tempo stesso l’aspetto complementare (ad esempio l’aspetto ondulatorio) dello stesso fenomeno.

In altre parole, se un fenomeno presenta in un certo esperimento l’aspetto corpuscolare, non è possibile osservare nello stesso esperimento anche effetti ondulatori, e viceversa. Quindi il fenomeno si presenta o come corpuscolo e basta, o come onda e basta.

Tale principio sancisce l’irrinunciabilità del dualismo e, al tempo stesso, assicura che le particelle subatomiche non sono al tempo stesso un “pasticcio”, un “mix” di onde e corpuscoli: la realtà intrinseca dell’onda e della particella così sono salve.

Proprio ispirandosi al suo Principio di Complementarietà, quando nel 1947 il danese Niels Bohr fu insignito dal Re di Danimarca Federico IX dell’Ordine dell’Elefante, una delle più alte onorificenze danesi, di solito attribuito solo a capi di stato e di governo, egli scelse lo stemma che vedete qui sotto a destra, contenente il duplice simbolo del Taijitu (太極圖), l’unione dello Yin (陰) nero e dello Yang (陽) bianco, caratteristici degli insegnamenti del filosofo cinese Lao Tse (老子, “Maestro Venerabile”), vissuto probabilmente nel VI secolo a.C.

Ispirati dall’osservazione del giorno che si tramuta in notte e della notte che si tramuta in giorno, essi rappresentano gli opposti tra di loro complementari: l’oscurità è Yin, la luce è Yang; la terra è Yin, il cielo è Yang; il freddo è Yin, il caldo è Yang; il nord è Yin, il sud è Yang; la sfortuna è Yin, la fortuna è Yang; e così via. Questa concezione è alla base del Taoismo e Confucianesimo, ed è una delle linee guida della medicina tradizionale cinese, di molte arti marziali cinesi e della divinazione I Ching.

Il Taijitu è visibile anche nella bandiera della Corea del Sud. Bohr (che vediamo qui sotto a sinistra ritratto da George Gamow) non poteva trovare rappresentazione grafica migliore del dualismo onda-particella tipico dei fenomeni microscopici. In quell’occasione, Bohr scelse come motto la frase latina « Contraria sunt complementa », che è la perfetta descrizione del Taijitu.

Fin da subito, però, la soluzione ipotizzata da Bohr non sembrò soddisfacente. Heisenberg, che pure (come abbiamo visto) seguiva la stessa corrente di pensiero di Bohr, affermò che « tale concetto aveva solo una vaga connessione con la realtà », mentre Schrödinger, che della scuola di Copenaghen era fiero oppositore, definì il concetto di complementarietà una « evasione » che « finisce per ammettere il fatto che noi abbiamo due teorie, due immagini della materia che non si accordano, cosicché talvolta dobbiamo far uso dell’uno, talvolta dell’altro… »

L’idea giusta per risolvere brillantemente il problema della complementarietà ed uniformare la visione corpuscolare e quella ondulatoria venne a Max Born (1882-1970), professore di Göttingen che aveva già collaborato con Heisenberg per elaborare la Meccanica delle Matrici.

Egli ragionò nel modo che segue. Ripetiamo l’esperienza di Davisson e Germer usando non un fascio di elettroni, ma un elettrone singolo. Al di là della fenditura allora non osserveremo una figura di diffrazione, come sarebbe stato se avesse avuto ragione Schrödinger circa la natura puramente ondulatoria dell’elettrone, bensì una singola traccia.

Essa però non compare esattamente al di là della fenditura, bensì in un punto qualsiasi. Se ripeto l’esperienza con un secondo elettrone, trovo ancora una traccia singola, ma in un punto diverso dal primo. Un terzo elettrone dà una traccia ancora diversa, e così via.

In tal modo, non ha senso parlare di “dualismo” o di “complementarietà”, perchè l’elettrone particella è e particella rimane. Il suo comportamento insolito deriva unicamente dal fatto che esso NON si comporta come una particella classica, che intercetterebbe lo schermo sempre nella stessa posizione, ma evidenzia un comportamento casuale, nel senso che noi non possiamo sapere in anticipo dove l’elettrone colpirà lo schermo.

esperimento delle doppie fenditure
esperimento delle doppie fenditure

Questo concetto è veramente esplosivo perchè, fino all’avvento della Meccanica Quantistica, la Fisica era stata dominata da una logica fortemente deterministica: ogni evento è sempre connesso a una causa che lo provoca, a cui posso risalire in modo univoco e incontrovertibile.

Questa visione della Fisica è nota con il nome di meccanicismo: a partire da certe condizioni iniziali, un sistema può evolvere in un modo e in uno solo.

È vero che la Termodinamica ha introdotto nella Fisica il concetto di Statistica, ma solo perchè essa si occupa di sistemi costituiti da un numero molto grande di particelle, e quindi è impossibile andare a valutare tutte le condizioni iniziali di posizione e velocità delle singole particelle.

Se però io riuscissi a misurare 1023 posizioni iniziali e 1023 velocità iniziali, e poi a risolvere un sistema di 1023 equazioni in 1023 incognite, potrei ottenere con precisione l’evoluzione nel tempo di ogni particella del sistema. Invece, nell’interpretazione data da Born della Meccanica Quantistica, il concetto di probabilità è connaturato nel comportamento stesso dei suoi protagonisti: essi non possono seguire orbite e traiettorie determinate e determinabili, ma solo casuali, regolate interamente del calcolo probabilistico.

Secondo Einstein, la Fisica avrebbe dovuto « rappresentare una realtà nel tempo e nello spazio ». Born invece era di diverso avviso: per lui, anche la probabilità è una realtà fisica. Noi medesimi abbiamo una certa probabilità di sopravvivere fino ad una certa età, e un’altra di non farcela.

Era logico che concetti così rivoluzionari avrebbero diviso il mondo dei fisici, e non è certo un caso se si parlò di Kopenaghener Geist (“Spirito di Copenaghen”), dal nome della città in cui Bohr insegnava, per indicare quel vento di rinnovamento che scosse le fondamenta della Fisica negli anni ’30 del secolo scorso, sconvolgendo i principali concetti sui quali si basava, a partire da quello di “oggetto fisico”.

Secondo quella che oggi chiamiamo l’interpretazione di Copenaghen, Born propose di ripetere milioni di volte l’esperimento ideale appena descritto, mandando verso la fenditura non un singolo elettrone, bensì un elettrone per volta un miliardo di volte.

Quanto segue richiede la conoscenza dei principali concetti dell’Analisi Matematica. Suddividiamo lo schermo, supposto monodimensionale, in una matrice di rivelatori di ampiezza Δx. Ogni rivelatore, dopo un tempo abbastanza lungo, segnalerà l’arrivo di un numero N(xi) di particelle, dove xi è la posizione dell’i-esimo rivelatore (i = 1, 2, 3, …, N). Tabulando N(xi) in funzione di xi, come in figura, si trova un grafico che… coincide con una figura di diffrazione! Il risultato che si ottiene è dunque lo stesso che se io mandassi gli elettroni contro la fenditura tutti assieme.

meccanica quantistica

È insomma il comportamento casuale del corpuscolo a giustificarne l’aspetto ondulatorio: la figura di diffrazione è in realtà una distribuzione di probabilità. Born ebbe l’idea di introdurre la probabilità p(xi) che l’elettrone sia catturato dall’i-esimo rivelatore, come limite della frequenza di rilevazione per un numero infinito di elettroni:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 34          (5.5)

Abbiamo visto che l’intensità dell’onda è proporzionale al modulo quadrato della funzione d’onda; ma tale intensità, per quanto detto prima, è proporzionale al numero di elettroni che colpiscono il rivelatore e, quindi, alla probabilità di trovare l’elettrone in un determinato punto di esso. Ne segue che il modulo quadrato della funzione d’onda è legato alla probabilità di trovare l’elettrone in ogni punto:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 35          (5.6)

C’è però un problema da risolvere per avallare questa interpretazione. Infatti, il concetto di probabilità ha senso solo se la variabile x è discreta, perchè la (5.5) prevede di poter contare il numero di elettroni captati dall’i-esimo rivelatore di larghezza Δxi.

Se la x varia con continuità, come prevede la definizione matematica di Ψ (xt), avrei Δx→ 0, ed allora le cellette del rivelatore si ridurrebbero a punti (risoluzione infinita), capterebbero zero elettroni ciascuno, e in definitiva la probabilità sarebbe nulla.

Per uscire da questo vicolo cieco si introduce il concetto di densità di probabilità. Supponiamo di dividere lo schermo in un numero infinito di celle infinitesime di spessore dx; allora la probabilità che l’elettrone vada a cadere proprio tra x e x + dx è infinitesima anch’essa, e la chiameremo dp(x).

La (5.5) ci dice che essa è proporzionale a | Ψ (xt) |2, con t fissato; ma, siccome questo modulo quadrato è finito, il coefficiente di proporzionalità deve essere infinitesimo. L’idea che ci viene è quella di scrivere:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 36          (5.7)

da cui:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 37

Il modulo quadrato della funzione d’onda è dunque identificabile con la variazione puntuale di probabilità, esattamente come la variazione puntuale della massa è chiamata densità di massa. Il modulo quadrato della funzione d’onda rappresenta dunque una grandezza probabilistica: per questo, distribuzione di probabilità e figura di diffrazione vengono a coincidere.

Questo implica che non tutte le funzioni possono essere interpretate come funzioni d’onda, perchè essa deve essere normalizzata. Si sa che, se getto un dado, ho una probabilità su sei di sortire una qualunque delle facce, ma la somma di tutte queste probabilità deve essere pari ad uno, perchè sicuramente dopo ogni lancio una delle sei facce sarà sortita. Analogamente, se p(xi) è la probabilità che l’elettrone sia individuato nell’i-esima cella del rilevatore, si avrà:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 38

Se la variabile è continua, p(x) è infinitesima e la sommatoria si tramuta in un integrale:

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 39

e per la (5.7):

Meccanica quantistica: la funzione d'onda e i principi fondamentali 40

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. Albert Messiah, Mécanique quantique, tome 1, Dunod, 1966.
  2. Paul Dirac, I principi della meccanica quantistica, Bollati Boringhieri, 1971.
  3. (John von Neumann, Mathematical foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
  4. Stephen Gustafson, Israel M. Sigal, Mathematical concepts of quantum mechanics, Springer, 2006.
  5. Franz Schwabl, Quantum mechanics, Springer, 2002.
  6. (Franco Strocchi, An introduction to the mathematical structure of quantum mechanics, a short course for mathematicians, World Scientific Publishing, 2005.
  7. Lev D. Landau; Evgenij M. Lifsits, Meccanica Quantistica Teoria non relativistica, Roma, Editori riuniti, II Edizione marzo 1994.
  8. Amici della Scienza
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