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La congettura di Calabi

Eugenio Calabi concepì l’idea: parto da uno spazio con una distribuzione di materia. Ora, supponiamo che questa quantità sia zero, cioè lo spazio non abbia materia. La domanda di Calabi è: può esserci gravità anche se lo spazio è vuoto? Calabi pose la domanda per uno spazio a qualsiasi dimensione, questo a testimonianza di come la questione non fosse fisica e fosse relativa a realtà matematiche. Infatti Calabi penso ad un’idea “non aveva niente a che fare con la fisica. Si trattava rigorosamente di geometria”.

Calabi non fece esattamente la domanda come presentata sopra, ma per approfondire la questione ci sarebbe bisogno di scrivere pagine e pagine su strutture differenziali complesse. Ai nostri scopi basterà questa versione estremamente semplificata. Yau rispose affermativamente alla domanda. Esistono varietà del tipo richiesto da Calabi (chiamate Ricci-piatte). Per dare risposta a questa domanda, che implicava il concetto di gravità, bisognava considerare l’equazione di Einstein.

congettura di Calabi
Una porzione 2D di una varietà quintic 6D Calabi-Yau.

In questa equazione si uguaglia il flusso della densità di materia e momento in un punto a una parte della curvatura totale del nostro spazio (quello che viene chiamato tensore di Ricci). Vista la domanda di Calabi, bastava che questa “parte di curvatura totale” fosse uguale a zero. Ecco, il bastava non era poi così semplice! La parte di curvatura totale da uguagliare a zero è un sistema di dieci equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari.

Perché Calabi sollevò la questione? L’idea fondamentale alla base è il concetto di uniformità. Trovare strutture del tipo richiesto implicava che, anche con una conoscenza parziale dello spazio, avrei potuto trarre conclusioni sulla sua totalità. Yau provò che l’equazione di Calabi ha infinite soluzioni e che le soluzioni di questa equazione (caso speciale dell’equazione di Einstein) sono spazi. Pur essendo una scoperta matematica, diede un impulso decisivo alla fisica.

La teoria delle stringhe aveva bisogno di dieci dimensioni per preservare la simmetria. Perché? Ogni teoria che si candida ad essere una teoria unificata deve prevedere una simmetria, principalmente per la coerenza con la meccanica quantistica, che deve esserne un ingrediente fondamentale.

Per produrre ciò che vediamo nel nostro Universo, le stringhe hanno bisogno di dieci dimensioni anche per un fenomeno chiamato “cancellazione delle anomalie”. Lo spazio a 6 dimensioni da aggiungere alle 4 conosciute è uno spazio nascosto, che non vediamo perché è compattificato. Alla base di quanto detto finora ci sono concetti di analisi geometrica molto sofisticati che hanno preso parte alla congettura di Calabi e allo stesso tempo ne hanno complicato la soluzione.

Cenni sulla dimostrazione della congettura di Calabi

Calabi trasformò la congettura di Calabi in un’equazione differenziale alle derivate parziali non lineare di tipo complesso Monge-Ampere e mostrò che questa equazione ha al massimo una soluzione, stabilendo così l’unicità della metrica di Kähler richiesta.

Yau ha dimostrato la congettura di Calabi costruendo una soluzione di questa equazione usando il metodo di continuità. Ciò comporta innanzitutto la risoluzione di un’equazione più semplice e quindi la dimostrazione che una soluzione all’equazione facile può essere continuamente deformata in una soluzione dell’equazione difficile. La parte più difficile della soluzione di Yau sta dimostrando alcune stime a priori per i derivati ​​delle soluzioni.

Formalmente, la congettura di Calabi afferma:

Se M è un collettore Kähler compatto con metrica Kähler  e la forma di Kähler  R è una qualsiasi forma (1,1) che rappresenta la prima classe Chern del collettore, quindi esiste una metrica Kähler unica  su M con la forma di Kähler  così  e  rappresentano la stessa classe nella coomologia H 2 ( M , R ) e la forma Ricci di  è R .

La congettura di Calabi è strettamente correlata alla questione di cui le varietà di Kähler hanno le metriche di Kähler – Einstein.

Trasformazione della congettura di Calabi in un’equazione differenziale: Supponiamo che M sia una varietà compatta complessa con una forma Kahler ω. Qualsiasi altro modulo Kahler nella stessa classe è del modulo

per alcune funzioni lisce φ su M , unico fino all’aggiunta di una costante. La congettura di Calabi è quindi equivalente al seguente problema:

Sia F = f una funzione liscia positiva su M con valore medio 1. Quindi c’è una funzione reale liscia φ con  con  ,  e φ è unico fino all’aggiunta di una costante.

Questa è un’equazione di tipo Monge-Ampere complesso per una singola funzione φ. È un’equazione differenziale alle derivate parziali particolarmente difficile da risolvere, in quanto non lineare nei termini di massimo ordine. È banale risolverlo quando f = 0, poiché φ = 0 è una soluzione. L’idea del metodo di continuità è mostrare che può essere risolta per tutte le f mostrando che l’insieme di f per cui può essere risolto è sia aperto che chiuso. Poiché l’insieme di f per cui può essere risolto è non vuoto, e l’insieme di tutti i f è collegato, questo dimostra che può essere risolto per tutti f .

La mappa da funzioni lisce a funzioni lisce che richiedono da φ a F definite da

non è né iniettivo né suriettivo. Non è iniettivo perché l’aggiunta di una costante a φ non cambia F e non è suriettiva perché F deve essere positivo e avere valore medio 1. Quindi consideriamo la mappa limitata alle funzioni φ che sono normalizzate per avere valore medio 0, e chiedi se questa mappa è un isomorfismo sul set di positivo F = f con valore medio 1. Calabi e Yau hanno dimostrato che è davvero un isomorfismo. Questo viene fatto in diversi passaggi, descritti di seguito.

Unicità della soluzione: Dimostrare che la soluzione è unica implica mostrare che se

allora φ 1 e φ 2 differiscono di una costante (quindi devono essere uguali se sono entrambi normalizzati per avere un valore medio 0). Calabi lo ha dimostrato dimostrando che il valore medio di

| d (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) | ^ {2}

è dato da un’espressione che è al massimo 0. Come è ovviamente almeno 0, deve essere 0, quindi

che a sua volta forza φ 1 e φ 2 a differire di una costante.

L’insieme di F è aperto: Dimostrando che l’insieme di possibili F è aperto (nel set di funzioni regolari con valore medio 1) comporta dimostrando che se è possibile risolvere l’equazione per qualche F , allora è possibile risolvere per tutti sufficientemente vicino F . Calabi lo ha dimostrato utilizzando il teorema della funzione implicita per gli spazi di Banach : per applicarlo, il passo principale è mostrare che la linearizzazione dell’operatore differenziale sopra è invertibile.

L’insieme di F è chiuso: Questa è la parte più difficile della dimostrazione, ed è stata la parte di Yau. Supponiamo che F sia nella chiusura dell’immagine delle possibili funzioni φ. Ciò significa che esiste una sequenza di funzioni φ 1 , φ 2 , … tale che le corrispondenti funzioni 1 , 2 , … convergono in F , e il problema è di mostrare che alcune sottosequenze degli φs convergono in una soluzione φ. Per fare questo, Yau trova alcuni limiti a priori per le funzioni φ i e le loro derivate superiori in termini di derivate più alte di log ( i). Trovare questi limiti richiede una lunga sequenza di stime difficili, ognuna leggermente migliorata rispetto alla stima precedente. I limiti Yau ottiene sono sufficienti per dimostrare che le funzioni Phi ho tutti stanno in un sottoinsieme compatto di un adeguato spazio di Banach di funzioni, per cui è possibile trovare una sottosuccessione convergente. Questa sottosequenza converge in una funzione φ con l’immagine F , che mostra che l’insieme delle possibili immagini F è chiuso.

Riferimenti e approfondimenti

  • T. Aubin, Analisi non lineare su collettori, equazioni di Monge-Ampère ISBN  0-387-90704-1 Ciò fornisce una dimostrazione della congettura di Calabi e dei risultati di Aubin sulle metriche di Kaehler-Einstein.
  • Bourguignon, Jean-Pierre (1979), “Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d’après E. Calabi, T. Aubin et ST Yau]”, Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78) , Appunti in matematica ., 710 , Berlino, New York: Springer-Verlag , pp. 1-21, doi : 10.1007 / BFb0069970 , ISBN 978-3-540-09243-8, MR  0554212 Questo dà un’indagine sul lavoro di Aubin e Yau.
  • Calabi, Eugenio (1954), “Lo spazio delle metriche di Kähler” , Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam , 2 , pp. 206-207, archiviato dall’originale (PDF) del 2011-07-17 , recuperato il 30/01/2011
  • Calabi, Eugenio (1957), “Sulle varietà Kähler con classe canonica in via di estinzione”, in Fox, Ralph H .; Spencer, DC; Tucker, AW (eds.), Geometria algebrica e topologia. Un simposio in onore di S. Lefschetz , Princeton Mathematical Series, 12 , Princeton University Press , pp. 78-89, MR  0085583
  • Collettori compatti di Dominic D. Joyce con Holonomy speciale (monografie matematiche di Oxford) ISBN 0-19-850601-5 Ciò fornisce una dimostrazione semplificata della congettura di Calabi.
  • G. Tian, sulla congettura di Calabi per superfici complesse con la prima classe Chern positiva. Inventare. Matematica. 101 (1990), n. 1, 101-172.
  • Yau, Shing Tung (1977), “La congettura di Calabi e alcuni nuovi risultati nella geometria algebrica” , Atti della National Academy of Sciences degli Stati Uniti d’America , 74 (5): 1798-1799, doi : 10.1073 / pnas.74.5 .1798 , ISSN  0027-8424 , MR  0451180 , PMC  431004
  • Yau, Shing Tung (1978), “Sulla curvatura di Ricci di una varietà compatta di Kähler e la complessa equazione di Monge-Ampère.”, Comunicazioni su Matematica pura e applicata , 31 (3): 339-411, doi : 10.1002 / cpa .3160310304 , MR  0480350
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