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Introduzione ai tensori: covarianza e controvarianza

Un tensore di rango n è un array di 4 n valori (nello spaziotempo quadridimensionale) chiamati “componenti tensoriali” che si combinano con più indicatori direzionali (vettori di base) per formare una quantità che NON varia al variare del sistema di coordinate.

Quindi dovremo pensare ai tensori come a oggetti con componenti che si trasformano tra sistemi di coordinate in modi specifici e prevedibili.

Corollario 1 : Combinato con il principio di covarianza generale, che estende il principio di relatività  per dire che la forma delle leggi fisiche dovrebbe essere la stessa in tutti i sistemi inerziali e acceleranti, significa che se abbiamo un’ equazione tensoriale che è vera nella relatività speciale (in una trama inerziale) questa equazione rimarrà valida nella relatività generale (in una trama accelerata)

Corollario 2 : Un tensore nullo in un sistema di coordinate è nullo in tutti gli altri sistemi di coordinate. In altre parole, una quantità che possiamo annullare con la trasformazione del sistema di coordinate NON è un tensore.

Rotazione vettoriale e componenti controvarianti

Consideriamo un vettore, che non è altro che un tensore di rango uno e poniamoci la domanda: “Cosa succede a un vettore quando si modifica il sistema di coordinate in cui viene rappresentato?” La risposta rapida è che non accade nulla al vettore stesso ma le componenti del vettore potrebbero essere diverse nel nuovo sistema di coordinate.

Consideriamo la semplice rotazione del sistema di coordinate cartesiane bidimensionale mostrato di seguito. In questa trasformazione, la posizione dell’origine non è cambiata, ma entrambi gli assi x e y sono stati inclinati in senso antiorario di un angolo di θ. Gli assi ruotati sono etichettati x ‘e y’ e sono disegnati usando il colore rosso per distinguerli dagli assi originali.

covarianza e controvarianza

Il nostro scopo è esprimere i componenti A ‘ x   e A’ del vettore A nel sistema di coordinate  / ruotato rispetto ai componenti A x e A y nel sistema di coordinate non trasformato /  trasformato, definito come segue:

covarianza e controvarianza

Se pensate alle modifiche ai componenti A x e A y del vettore A, potreste rendervi conto che il componente vettoriale A ‘ x nel sistema di coordinate ruotato non può dipendere interamente dal componente A x nel sistema originale. In realtà, come si può vedere nella figura sopra, A ‘ può essere considerato composto da due segmenti, etichettati L 1 e L 2 . Quindi

A ‘ x = L 1 + L 2 .

Potete vedere che A x è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo formato disegnando una perpendicolare dalla fine di A x all’asse x’ . Quindi è facile vedere che la lunghezza di L1 (la proiezione di A x sull’asse x’ ) è A x cosθ.

1 = A x cos (θ)

Per trovare la lunghezza di L 2 , considera il triangolo rettangolo formato facendo scorrere A ‘ x verso l’alto lungo l’asse y’e quindi disegnando una perpendicolare dalla punta di A’ x all’asse x. Da questo triangolo, dovremmo essere in grado di vederlo

2 = A y cos (π / 2 – θ)

dove (π / 2 – θ) è l’angolo formato dalle punte di A ‘ x e A y (che è anche l’angolo tra l’asse x’e l’asse y come si può vedere dal parallelogramma) Quindi possiamo finalmente scrivere

A ‘ x = A x cos θ + y cos (π / 2 – θ)

Un analogo analogo per A ‘ y , la componente y del vettore A nei sistemi di coordinate ruotate, fornisce:

A ‘ y = A x cos ( π / 2 + θ) + y cos ( θ)

La relazione tra i componenti del vettore nei sistemi ruotati e non ruotati è convenientemente espressa usando la notazione a matrice come:

covarianza e controvarianza

È molto importante capire che l’equazione di trasformazione di cui sopra non ruota o cambia il vettore iniziale in alcun modo; determina i valori dei componenti del vettore nel nuovo sistema di coordinate. Più in particolare, i nuovi componenti sono combinazioni lineari ponderate dei componenti originali. Come ultima semplificazione, possiamo usare la notazione dell’indice di Einstein scrivendo l’equazione come segue:

covarianza e controvarianza

Quest’ultima equazione indica che i componenti di un vettore nel sistema di coordinate con l’apice  / trasformato sono la combinazione lineare di peso dei componenti dello stesso vettore nel sistema di coordinate primitivo / originale. E i fattori di ponderazione di un ij sono gli elementi della matrice di trasformazione. Quindi nel nostro esempio, potremmo scrivere la matrice di trasformazione a ij come segue:

covarianza e controvarianza

Trasformazione base vettoriale

Proviamo ora a capire come un vettore di base si trasforma quando il vettore base originale viene ruotato attraverso l’angolo Θ. Dobbiamo stare molto attenti al significato della trasformazione quando ci riferiamo al vettore di base: non stiamo guardando come le componenti dello stesso vettore si trasformano da un originale a un nuovo sistema di coordinate (sopra l’esempio di una matrice di trasformazione ij), ma come trovare i componenti del nuovo vettore (ruotato) nello stesso originale / stesso sistema di coordinate. Potremmo mostrare facilmente attraverso costruzioni geometriche come quelle mostrate precedentemente che i componenti A’x e A’y del nuovo vettore ruotato (A’) nel sistema di coordinate originale sono:

covarianza e controvarianza

covarianza e controvarianza

Moltiplicando le due matrici = la matrice di trasformazione per trovare componenti dello stesso vettore come sistema di coordinate viene ruotata attraverso l’angolo Θ, e la matrice di trasformazione per trovare nuovi vettori di base ruotando i vettori di base originali attraverso l’angolo Θ rivela la natura della relazione tra loro:

covarianza e controvarianza

Esiste chiaramente una relazione inversa tra la matrice di trasformazione del vettore di base e la matrice di trasformazione del vettore, quindi possiamo dire in questo caso che le componenti del vettore si trasformano “inversamente in” o “contro” nel modo in cui il vettore di base si trasforma. Questo è esattamente il motivo per cui qualifichiamo questi componenti come componenti controvarianti e perché usiamo la notazione in apice.

Quantità che si trasformano in modo controverso

Per qualsiasi sistema di coordinate in cui esiste una relazione lineare tra elementi di lunghezza differenziale ds , scrivere le equazioni che si trasformano tra il sistema è abbastanza semplice. Se chiamate i differenziali di un sistema di coordinate dx, dy e dz e l’altro sistema di coordinate dx ‘, dy’, e dz ‘le equazioni di trasformazione dal sistema non elaborato al sistema innescato derivano direttamente dalle regole della differenziazione parziale:

covarianza e controvarianza

che ancora una volta, usando la convenzione di sommatoria di Einstein potrebbe essere scritto come:

covarianza e controvarianza

Ma i termini dx ‘ i / dx j sono anche i componenti dei vettori di base tangenti agli assi di coordinate originali (non assegnati), espressi nel nuovo sistema di coordinate (innescato). Cerchiamo di confermarlo con un esempio della trasformazione da 2-d polari (r, θ) a coordinate cartesiane (x, y). In tal caso, abbiamo x ‘ 1 = x, x’ 2 = y, x 1 = r e x 2 = θ. Sappiamo anche che x = rcosθ e y = rsinθ . Calcolando i derivati ​​appropriati otteniamo

covarianza e controvarianza

Sono davvero questi i componenti del vettore tangente rispetto agli assi di coordinate originali (r, θ)? Possiamo confermarlo scrivendo questi componenti nel sistema di coordinate primed (cartesiano in questo caso)

covarianza e controvarianza

La prima di queste espressioni è un vettore che punta radialmente verso l’esterno (lungo la direzione r in coordinate polari) e il secondo è un vettore che punta perpendicolarmente alla direzione radiale (lungo la direzione θ). Ciò dimostra che le derivate parziali rappresentano componenti del vettore di base covariante (non polarizzato qui) originale nel nuovo sistema di coordinate (innescato qui cartesiano).

Ma poiché sappiamo dal paragrafo precedente che i componenti del vettore controvariante si combinano con i vettori di base covarianti per produrre identità, allora gli elementi di lunghezza differenziale devono trasformarsi in componenti di vettori controvarianti. E dovremmo ora capire perché l’equazione di trasformazione per componenti controvarianti del vettore A è spesso scritta come

covarianza e controvarianza

Componenti controvarianti e vettori a doppia base

Nel sistema di coordinate cartesiane come quello usato in precedenza, non vi è alcuna ambiguità quando si considera il processo di proiezione di un vettore su un asse di coordinate. Ora immagina un sistema di coordinate bidimensionale in cui gli assi x e y non sono perpendicolari tra loro . In tali casi, il processo di proiezione di un vettore su uno degli assi coordinati potrebbe essere eseguito parallelamente agli assi delle coordinate o perpendicolare agli assi. Nello schema seguente, per comprendere proiezioni parallele, dobbiamo considerare i vettori di base e 1 ed e che puntano lungo gli assi di coordinate non ortogonali e le proiezioni X 1 e X 2 del vettore X su quelle direzioni.

covarianza e controvarianza

In questo caso, il vettore X può essere scritto come:

covarianza e controvarianza

dove come visto sopra, X 1 e X 2 rappresentano le componenti di proiezione parallela (controvariante) del vettore X.

Ora se proiettiamo il vettore X in modo ortogonale lungo gli assi, arriviamo con le componenti X 1 e X 2 del vettore. La prima osservazione da fare è che le proiezioni “parallele” e le proiezioni “ortogonali” non hanno la stessa lunghezza e che ovviamente usando le regole dell’aggiunta vettoriale con X 1 e X 2 non formano il vettore X. Le proiezioni perpendicolari semplicemente non aggiungere come vettori per dare il vettore originale .

È quindi ragionevole chiedersi se esistano vettori di base alternativi rispetto a e 1 ed e 2 che consentirebbero ai componenti di proiezione perpendicolare di formare un vettore in un modo analogo ai componenti controvarianti. Ci sono, e quei vettori di base alternativi sono chiamati vettori di base “reciproci” o “doppi” . Questi hanno due caratteristiche che definiscono:

  1. Ciascuno deve essere perpendicolare a tutti i vettori di base originali con indici diversi. Quindi se chiamiamo i vettori a doppia base e 1 e e 2 per distinguerli dal vettore base originale e 1 e e 2 , devi assicurarti che e 1 sia perpendicolare a e 2 (che è l’ asse y in questo caso ). Allo stesso modo, e 2 deve essere perpendicolare a e 1 (e quindi perpendicolare all’asse x in questo caso).
  2. La seconda caratteristica che definisce il vettore a doppia base è che il prodotto punto tra ciascun vettore a doppia base e il vettore base originale con lo stesso indice deve essere uguale a uno, quindi e 1 o e 1 = 1 ed e 2 o e 2 = 1.

Le componenti covarianti X e X fatte sulla direzione dei vettori a doppia base piuttosto che sulle direzioni dei vettori di base originali possono essere scritte come segue:

covarianza e controvarianza

Usiamo la notazione superscript per denotare i vettori a doppia base come la matrice di trasformazione inversa deve essere utilizzata quando questi vettori di base vengono trasformati in un nuovo sistema di coordinate, come lo è per le componenti del vettore controvariante X 1 e X 2 .

Conclusione:

Quindi un vettore A rappresenta la stessa entità se è espresso usando componenti controvarianti componenti i i o covarianti A i :

covarianza e controvarianza

dove e i rappresenta un vettore base covariante email i rappresenta una base vettore controvariante. Nella trasformazione tra i sistemi di coordinate, un vettore con componenti controvarianti A j nel sistema di coordinate originale (non richiesto) e componenti controvarianti Un ‘ i nel nuovo sistema di coordinate (innescato) si trasforma come:

covarianza e controvarianza

dove i termini dx ‘i / dx j rappresentano i componenti nel nuovo sistema di coordinate del vettore base tangente agli assi originali. Allo stesso modo, per un vettore con componenti covarianti Aj nel sistema di coordinate originale  e componenti covarianti A’i nel nuovo sistema di coordinate, l’equazione di trasformazione è:

covarianza e controvarianza

dove i termini dx j / dx ‘ i rappresentano i componenti nel nuovo sistema di coordinate della (base) vettore base perpendicolare agli assi originali.

Come differenziare un tensore

Si consideri un vettore V = V α e α (cioè il tensore ha componenti controvarianti V α e coi vettori di base e α ). Usando la regola di derivazione del prodotto, la velocità di variazione dei componenti Vα (del vettore V) rispetto a x β .

covarianza e controvarianza

Ma ricordiamo i  Simboli di Christoffel  o coefficiente di connessione che i coefficienti di connessione sono definiti da:

covarianza e controvarianza

Sostituendo questa espressione nell’equazione di cui sopra dà

covarianza e controvarianza

Il termine di destra ha due indici fittizi (cioè indici da sommare) α e γ. Possiamo migliorare la formula cambiando da α a γ e γ a α per dare:

covarianza e controvarianza

e il fact out di e α dà

covarianza e controvarianza

Questa espressione indica il tasso di variazione di V α in ciascuna delle direzioni β del sistema di coordinate x β  ed è noto come derivata covariante del vettore controvariante V. Il simbolo nabla è usato per indicare la derivata covariante

covarianza e controvarianza

In parole: la derivata covariante è la consueta derivata lungo le coordinate con termini di correzione che indicano come cambiano le coordinate.

La proprietà di intestazione sul derivato covariante è che, al contrario del solito derivato direzionale, questa quantità si trasforma come un tensore, cioè è indipendente dal modo in cui è espressa in un sistema di coordinate.

Nota 1 : In un sistema di riferimento inerziale, la scomparsa delle derivate parziali del tensore metrico in qualsiasi punto di M è equivalente allo svanire dei simboli di Christoffel, e quindi possiamo scrivere questa fondamentale uguaglianza nel contesto di qualsiasi struttura inerziale locale o inerziale:

covarianza e controvarianza

Nota 2 : il fatto che il simbolo di Christoffel di per sé NON si trasformi come un tensore può essere facilmente dedotto dal fatto che possiamo sempre trovare un frame inerziale (locale) in cui il suo valore è uguale a zero, il che non dovrebbe essere possibile per un tensore .

Nota 3 : possiamo anche trovare queste notazioni equivalenti per la differenziazione covariante. In particolare, la notazione comune per la derivata covariante è quella di usare un punto e virgola (;) davanti all’indice rispetto al quale viene preso il derivato covariante (β in questo caso)

covarianza e controvarianza

Differenziazione covariante per un vettore covariante

Prendiamo il prodotto scalare A μ Bμ di due vettori arbitrari, un covariante A e l’altro controvariante B. Abbiamo quindi, applicando le regole di derivazione:

covarianza e controvarianza

Ma poiché il valore di uno scalare in un punto nello spaziotempo non dipende dai vettori di base, la derivata covariante di uno scalare è uguale alla sua derivata ordinaria:

covarianza e controvarianza

Confrontando queste ultime due equazioni si ottiene rinominando alcuni degli indici muti:

covarianza e controvarianza

Poiché questa equazione dovrebbe valere per ogni vettore A arbitrario, la quantità tra parentesi dovrebbe essere nullo necessaria. Quindi abbiamo mostrato che l’espressione della derivata covariante delle componenti covarianti di un vettore B è la seguente:

covarianza e controvarianza

Si noti che il termine che coinvolge i simboli di Christoffel è sottratto in questo caso. Allo stesso modo dei vettori controvarianti, il secondo termine svanisce in un contesto di riferimento inerziale. Abbiamo quindi:

covarianza e controvarianza

Trasporto parallelo

Supponiamo di iniziare al polo nord con in mano un giavellotto che punta orizzontalmente in qualche direzione, e porti il ​​giavellotto all’equatore, mantenendo sempre il giavellotto puntato “nella stessa direzione possibile”, soggetto al vincolo che punta orizzontalmente, cioè, tangente alla terra. (L’idea è che stiamo prendendo “spazio” per essere la superficie bidimensionale della terra e il giavellotto è la “piccola freccia” o “vettore tangente”, che deve rimanere tangente allo “spazio”).

covarianza e controvarianza
Trasporto parallelo di un vettore attorno ad un anello chiuso

Dopo aver marciato verso l’equatore, marciare di 90 gradi attorno all’equatore, quindi risalire verso il polo nord, mantenendo sempre il giavellotto puntato orizzontalmente e “nella stessa direzione possibile” lungo il meridiano. Nel momento in cui torni al polo nord, il giavellotto indica una direzione diversa ! Questo perché la superficie della terra è curva. In effetti, se trasportiamo in parallelo un vettore attorno a un loop infinitesimo su una varietà, il vettore che finiremo sarà solo uguale al vettore con cui abbiamo iniziato se la varietà è piatta .

In realtà, il “trasporto parallelo” ha una definizione molto precisa nello spazio curvo: è definito come trasporto per cui la derivata covariante è zero. Quindi tenere il covariante a zero mentre si trasporta un vettore attorno ad un piccolo anello è un modo per ottenere il tensore di Riemann. Ma c’è anche un altro modo più indiretto usando quello che viene chiamato il commutatore della derivata covariante di un vettore.

Commutatore derivativo covariante

In questo utilizzo, “commutatore” si riferisce alla differenza risultante dall’esecuzione di due operazioni prima in un ordine e poi nell’ordine inverso. Quindi se un operatore è indicato con A e un altro è indicato con B, il commutatore è definito come [AB] = AB – BA . Pertanto, se la sequenza delle due operazioni non ha alcun impatto sul risultato, il commutatore ha un valore pari a zero.

Per ottenere il tensore di Riemann, l’operazione di scelta è derivata covariante. Questo perché, come abbiamo visto sopra, la derivata covariante di un tensore in una certa direzione misura quanto il tensore cambia rispetto a quello che sarebbe stato se fosse stato trasportato in parallelo. Il commutatore di due derivati ​​covarianti, quindi, misura la differenza tra il trasporto parallelo del tensore prima in un modo e poi nell’altro, opposto.

Nello spazio piatto l’ordine di differenziazione covariante non fa alcuna differenza – poiché la differenziazione covariante si riduce alla differenziazione parziale, quindi il commutatore deve produrre zero. Inversamente, qualsiasi risultato diverso da zero dell’applicazione del commutatore alla differenziazione covariante può quindi essere attribuito alla curvatura dello spazio, e quindi al tensore di Riemann.

Derivazione del tensore di Riemann

Quindi, il nostro obiettivo è quello di ricavare il tensore di Riemann trovando il commutatore

covarianza e controvarianza

o, in notazione semi-colon,

covarianza e controvarianza

Sappiamo che la derivata covariante di V a è data da

covarianza e controvarianza

Inoltre, prendendo la derivata covariante di questa espressione, che è un tensore di rango 2 otteniamo:

covarianza e controvarianza

Considerando il primo termine di destra, otteniamo:

covarianza e controvarianza

Quindi, utilizzare la regola del prodotto

covarianza e controvarianza

Considerando ora il secondo e il terzo termine di destra, possiamo scrivere:

covarianza e controvarianza

Mettendo insieme tutti questi termini, troviamo l’equazione (A)

covarianza e controvarianza

Ora scambiando be c si ottiene l’equazione (B)

covarianza e controvarianza

Sottrarre (A) – (B), il primo termine e l’ultimo termine si compensano a vicenda (ricordiamo che il simbolo di Christoffel è simmetrico rispetto agli indici inferiori) quindi finiamo con i seguenti termini rimanenti

covarianza e controvarianza

Moltiplicando le parentesi negli ultimi termini e fattorizzando i termini con V d

covarianza e controvarianza

Ma con la definizione del simbolo di Christoffel come spiegato nell’articolo Simbolo di Christoffel o coefficiente di connessione , lo sappiamo

covarianza e controvarianza

Perciò

covarianza e controvarianza

E scambiando gli indici dummy μ e ν abbiamo ovviamente

covarianza e controvarianza

Infine l’espressione del commutatore derivativo covariante è

covarianza e controvarianza

Definiamo l’espressione all’interno delle parentesi sul lato destro per essere il tensore di Riemann, nel senso

covarianza e controvarianza

Nota 1 : il tensore di curvatura misura la non commutatività della derivata covariante come quelli che cambiano solo se il tensore di Riemann è nullo.

Nota 2 : il tensore di curvatura comprende derivate del primo ordine del simbolo di Christoffel quindi le derivate del secondo ordine della metrica , e quindi non possono essere annullate nel tempo di spazio curvo. Ricordiamo dal nostro articolo Curvatura locale o Cornici inerziali locali e curvatura SpaceTime che se la superficie è curva, non riusciamo a trovare un fotogramma per il quale tutte le derivate secondarie della metrica potrebbero essere nulle.

Nota 3 : avendo quattro indici, in n dimensioni il tensore di curvatura di Riemann ha n 4 componenti , cioè 2 4 = 16 nello spazio bidimensionale, 3 4 = 81 in tre dimensioni e 4 4 = 256 in quattro dimensioni (come nello spaziotempo).

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