I triangoli cosmici aprono una finestra sull’origine del tempo

L’esistenza di singolari correlazioni fra ammassi di galassie posti ai vertici di triangoli, quadrilateri e altre figure geometriche ideali suggerisce che il tempo potrebbe essere solo una proprietà “emergente”, non originaria, di un universo fondato su simmetrie spaziali. Alla fine di agosto un gruppo di paleontologi ha reso pubblica la scoperta del fossile di un guscio di tartaruga appiattito che “forse era stato calpestato” da un dinosauro, le cui impronte apparivano nello strato di roccia direttamente soprastante. La rara scoperta di fossili correlati tra loro permette di situare nello stesso tempo e luogo due specie estinte. “Solo così siamo in grado di ricostruire gli antichi ecosistemi”, ha detto un paleontologo al “New York Times”.

Questo approccio è analogo al modo in cui procedono i cosmologi per ricostruire la storia dell’universo. Come i fossili, anche gli oggetti astronomici non sono sparpagliati casualmente nello spazio: le correlazioni spaziali tra le posizioni di oggetti come le galassie raccontano una storia dettagliata del remoto passato. “I paleontologi deducono l’esistenza dei dinosauri per dare una spiegazione razionale a strane strutture ossee”, dice Nima Arkani-Hamed, fisico e cosmologo all’Institute for Advanced Study di Princeton, nel New Jersey. “Noi esaminiamo le attuali strutture nello spazio e ne deduciamo una storia cosmologica che le spieghi.”

Nima Arkani-Hamed
Nima Arkani-Hamed

Una struttura curiosa che i cosmologi conoscono da decenni sono le coppie di oggetti correlati fra loro di cui è pieno lo spazio: coppie di punti caldi osservati nelle carte dell’universo delle origini; coppie di galassie o di ammassi o superammassi di galassie nell’universo odierno; coppie trovate a distanze diversissime. Possiamo vedere queste “correlazioni a due punti” spostando un righello su una carta del cielo. I cosmologi hanno scoperto che quando a un’estremità c’è un oggetto, ciò aumenta la probabilità che ce ne sia uno anche all’altra estremità.

La spiegazione più semplice per queste correlazioni le fa risalire a coppie di particelle che apparvero in virtù delle fluttuazioni quantistiche, quando lo spazio si espanse in modo esponenziale nei primi istanti del big bang. Le coppie di particelle emerse prima si allontanarono di più l’una dall’altra, producendo coppie di oggetti molto distanti tra loro nel cielo odierno. Le coppie di particelle che apparvero più tardi si sono separate di meno e ora formano coppie di oggetti più vicini tra loro. Come i fossili, le correlazioni a coppie che si osservano in tutto il cielo codificano il passare del tempo: in questo caso addirittura l’inizio del tempo.

I cosmologi ritengono che durante la nascita dell’universo possano essersi verificate anche rare fluttuazioni quantistiche che coinvolsero tre, quattro o anche più particelle. Dovrebbero aver prodotto configurazioni di oggetti celesti oggi più complicate: disposizioni triangolari di galassie, nonché quadrilateri, pentagoni e altre forme. I telescopi non hanno ancora individuato queste correlazioni, statisticamente delicate, a più punti, ma trovarle aiuterebbe i fisici a comprendere meglio i primi momenti successivi al big bang.

Per i teorici era difficile persino calcolare che tipo di segnali avrebbero dato, ma ora non più. Negli ultimi quattro anni un piccolo gruppo di ricercatori ha affrontato la questione in modo nuovo. Hanno scoperto che la forma delle correlazioni segue direttamente dalle simmetrie e da altri profondi principi matematici. Adesso i risultati più importanti sono descritti in un articolo di Arkani-Hamed e tre coautori, la cui forma definitiva risale a questa estate.

Gli autori hanno usato una strategia detta bootstrap, un termine che deriva dall’espressione inglese pick yourself up by your own bootstraps, cioè sollevarsi tirandosi per le cinghie dei propri stessi stivali. Questo approccio deduce le leggi della natura prendendo in considerazione solo la logica matematica e la coerenza interna delle leggi stesse, invece di basarsi su prove empiriche. Usando la filosofia del bootstrap i ricercatori hanno ricavato e risolto una equazione matematica concisa che detta i possibili schemi di correlazioni in cielo, risultanti da diversi ingredienti primordiali.

“Hanno trovato un modo per calcolare le cose, un modo del tutto diverso dagli approcci da manuale”, afferma Tom Hartman, fisico teorico alla Cornell University, che ha applicato il bootstrap in altri contesti.

Eva Silverstein, fisica teorica della Stanford University che non ha partecipato alla ricerca, aggiunge che il recente articolo di Arkani-Hamed e collaboratori è “un contributo meraviglioso”. L’aspetto forse più notevole del loro lavoro, secondo Silverstein e altri, è ciò che ci dice sulla natura del tempo. Nella nuova equazione basata sul bootstrap non c’è alcuna variabile “tempo”, eppure prevede triangoli cosmologici, rettangoli e altre forme di tutte le dimensioni che raccontano una storia sensata sulle particelle quantistiche che apparvero e si evolvettero all’inizio dei tempi.

Tutto ciò fa pensare che la versione temporale della storia delle origini cosmologiche possa essere un’illusione. Il tempo si può vedere come una dimensione “emergente”, una sorta di ologramma che scaturisce dalle correlazioni spaziali dell’universo, le quali a loro volta sembrano provenire dalle simmetrie fondamentali. In sostanza, questo nuovo approccio potrebbe contribuire a spiegare perché il tempo sia iniziato e perché potrebbe finire. Come afferma Arkani-Hamed, “Ciò di cui stiamo facendo il bootstrap è il tempo stesso”.

Una mappa dell’inizio del tempo

Nel 1980 il cosmologo Alan Guth, riflettendo su una serie di concetti cosmologici, postulò che il big bang fosse iniziato con un improvviso fenomeno di espansione esponenziale, la cosiddetta “inflazione cosmica”. Due anni dopo, molti dei principali cosmologi al mondo si riunirono a Cambridge per chiarire i dettagli della nuova teoria. Nel corso delle tre settimane del Nuffield Workshop un gruppo che comprendeva tra gli altri Guth, Stephen Hawking e Martin Rees, quest’ultimo (futuro il futuro Astronomo Reale del Regno Unito, chiarì gli effetti di una breve fase inflazionaria all’inizio del tempo. Alla fine del convegno vari partecipanti avevano calcolato separatamente che il fremito quantistico durante l’inflazione cosmica avrebbe potuto in effetti avvenire alla giusta velocità ed evolversi nel modo giusto per produrre le variazioni di densità che si osservano nell’universo.

Per capire come, visualizziamo l’ipotetico campo di energia che alimentò l’inflazione cosmica, il cosiddetto “campo dell’inflatone”. Mentre questo campo di energia sospingeva l’espansione esponenziale dello spazio, in esso emergevano in modo spontaneo coppie di particelle (ognuna delle quali si può pensare anche come un’increspatura nel campo quantistico). Coppie di questo genere appaiono di continuo nei campi quantistici, prendendo momentaneamente in prestito energia dal campo, come consentito dal principio di indeterminazione di Heisenberg.

Di norma le increspature si annichiliscono e scompaiono in un attimo, restituendo l’energia, ma durante l’inflazione ciò non poteva accadere. Via via che lo spazio si gonfiava, le increspature si dilatavano, come un impasto per la pizza, fino a strapparsi e poi restare “congelate” come picchi gemelli di densità nel campo. Con il proseguire di questi fenomeni, i picchi hanno formato una struttura nidificata a tutte le scale.

Al termine dell’inflazione (una frazione di secondo dopo l’inizio), le variazioni di densità spaziale rimasero. Gli studi sull’antica luce detta radiazione di fondo cosmico a microonde hanno scoperto che l’universo primordiale era cosparso di differenze di densità pari a circa una parte su 10.000: non molto, ma neppure trascurabili.

Nei quasi 13,8 miliardi di anni trascorsi da allora, la gravità ha accentuato il contrasto spingendo la materia verso i punti densi: oggi le galassie come la Via Lattea e Andromeda sono un milione di volte più dense della media cosmica. Come ha scritto Guth, “Lo stesso principio di indeterminazione di Heisenberg che regola il comportamento degli elettroni e dei quark può essere responsabile anche di Andromeda e della Grande Muraglia!” (riferendosi a un’enorme fascia di galassie, non alla muraglia cinese).

Negli anni ottanta e novanta i cosmologi iniziarono poi a chiedersi quali altri campi, meccanismi o ingredienti aggiuntivi potessero essere presenti durante l’inflazione cosmica, oltre al campo dell’inflatone, e come avrebbero potuto influenzare la situazione. Si sapeva che il campo dell’inflatone doveva aver interagito per lo meno con il campo gravitazionale. Poiché i campi tendono ad avere effetto l’uno sull’altro in base alle leggi della meccanica quantistica, quando due particelle si materializzavano nel campo dell’inflatone e venivano allontanate dall’espansione cosmica, a volte un elemento della coppia si trasformava spontaneamente in due gravitoni, le particelle mediatrici del campo gravitazionale.

Questa coppia, e l’inflatone rimasto, avrebbero continuato a separarsi, congelandosi nello spazio e creando una disposizione triangolare di concentrazioni di energia. Allo stesso modo, se grazie a una fluttuazione appariva una coppia di particelle primordiali e poi ognuna di esse decadeva in altre due particelle, ciò avrebbe prodotto in seguito una correlazione a quattro punti.

Ma mentre i telescopi vedono chiaramente le correlazioni a due punti, le correlazioni a tre e più punti, com’è facile immaginare, sono più rare e quindi più difficili da individuare. Finora questi segnali sono rimasti nascosti dal rumore, ma alcuni potenti telescopi che inizieranno le osservazioni nel prossimo decennio potrebbero individuarli.

I cacciatori di fossili cosmologici cercano i segnali prendendo una carta del cosmo e spostandoci sopra un triangolo di una certa forma. Per ogni posizione e orientamento di questa figura, misurano la densità del cosmo ai tre vertici e moltiplicano questi numeri. Se il risultato differisce dal cubo della densità cosmica media, è una correlazione a tre punti. Dopo aver misurato in tutto il cielo l’intensità delle correlazioni a tre punti per quella particolare figura, ripetono il processo con triangoli di altre dimensioni e proporzioni dei lati e poi con quadrilateri e così via. La variazione di intensità delle correlazioni cosmologiche in funzione delle diverse forme e dimensioni è chiamata “funzione di correlazione” e codifica molte informazioni sulla dinamica delle particelle alla nascita dell’universo.

Hubble Ultra Deep Field
Questa regione del cielo osservata con l’Hubble Ultra Deep Field contiene circa 5500 galassie. I cosmologi hanno visto che le galassie mostrano un modello quasi invariante a due punti; tenendo un righello di qualsiasi lunghezza sul cielo, se c’è una galassia a una estremità, questo aumenta la possibilità che ce sia una anche all’altra estremità

O almeno, questa è l’idea. Sono stati fatti tentativi per approssimare la forma della funzione di correlazione a tre punti, ma cercare di calcolare effettivamente la dinamica dell’interazione delle particelle primordiali sullo sfondo di uno spazio in espansione esponenziale è davvero difficile.

Poi, nel 2002, Juan Maldacena, fisico teorico all’Institute for Advanced Study, è riuscito a calcolare la struttura delle correlazioni a tre punti derivanti dalle interazioni tra inflatoni e gravitoni. Il calcolo di Maldacena ha dato il via a una sottodisciplina: le sue tecniche sono state infatti applicate per determinare le correlazioni a più punti di altri modelli inflazionari che, oltre a inflatoni e gravitoni, postulano campi aggiuntivi e particelle loro associate.

Il metodo di Maldacena per calcolare la dinamica delle particelle primordiali, basato sulla forza bruta, era però difficile e concettualmente opaco. “Mettiamola così: è un bel po’ complicato”, commenta Gui Pimentel, fisico dell’Università di Amsterdam e coautore del nuovo articolo sul bootstrap cosmologico.

Simmetria semplice

Nel marzo 2014 i ricercatori che usano il telescopio BICEP2 hanno annunciato di aver rilevato nel cielo vortici impressi da coppie di gravitoni durante l’inflazione cosmica. La causa di queste turbolenze è stata presto identificata nella polvere galattica, invece che in eventi risalenti all’alba dei tempi, ma nel corso di questo mancata scoperta molti fisici, tra cui Arkani-Hamed e Maldacena, hanno ricominciato a pensare all’inflazione.

Unendo gli sforzi, i due fisici hanno capito che potevano trattare l’inflazione cosmica come un collisore di particelle ultrapotente. L’energia del campo dell’inflatone avrebbe alimentato la copiosa produzione di coppie di particelle, le cui interazioni e decadimenti avrebbero prodotto correlazioni a più punti simili alle cascate di particelle che emergono dagli eventi del Large Hadron Collider.

In genere una riformulazione di questo tipo non sarebbe stata di grande aiuto; le interazioni tra particelle possono procedere in innumerevoli modi e il metodo standard per prevedere i risultati più probabili – in sostanza, calcolare una somma ponderata del maggior numero possibile di catene di eventi che si possono prendere in considerazione – è un tour de force.

Ma i fisici delle particelle avevano da poco trovato scorciatoie grazie al bootstrap. Sfruttando simmetrie, principi logici e condizioni di coerenza, sono riusciti spesso a determinare il risultato finale senza mai dover considerare tutta la complessa dinamica delle particelle. I risultati hanno suggerito che l’abituale immagine della fisica delle particelle, in cui le particelle si muovono e interagiscono nello spazio e nel tempo, potrebbe non essere la descrizione più profonda di ciò che sta accadendo. Una tappa importante è quella del 2013, quando Arkani-Hamed e il suo studente Jaroslav Trnka hanno scoperto che i risultati di certe collisioni di particelle si trovano in modo molto semplice considerando il volume di una figura geometrica chiamata amplituedro.

Tenendo conto di queste scoperte, Arkani-Hamed e Maldacena hanno sospettato di poter giungere a una descrizione più semplice delle dinamiche nel corso dell’inflazione cosmica. Hanno usato il fatto che, secondo la cosmologia inflazionaria, l’universo in espansione esponenziale aveva quasi la stessa geometria di uno “spazio di De Sitter”, uno spazio simile a una sfera con dieci simmetrie, cioè modi in cui lo si può trasformare lasciandolo immutato.

Alcune di queste simmetrie sono familiari e valide ancor oggi, come il fatto che possiamo spostarci oppure girarci in qualsiasi direzione e le leggi della fisica rimangono le stesse. Uno spazio di De Sitter rispetta anche la simmetria rispetto alle dilatazioni: quando ingrandiamo o riduciamo tutto, ogni grandezza fisica rimane invariata o al massimo viene riscalata di una costante. Infine, lo spazio di De Sitter è simmetrico rispetto alle “trasformazioni conformi speciali”: quando invertiamo tutte le coordinate spaziali, poi effettuiamo una traslazione sulle coordinate e poi invertiamo di nuovo, non cambia nulla.

I due hanno scoperto che queste dieci simmetrie di un universo in inflazione limitano in modo radicale le correlazioni cosmologiche che l’inflazione può produrre. Mentre nell’approccio abituale si inizierebbe con una descrizione degli inflatoni e di altre particelle che potrebbero essere esistite; si specificherebbe poi come possano muoversi, interagire e trasformarsi l’una nell’altra e infine si proverebbe a determinare la struttura spaziale che potrebbe essersi di conseguenza condensata, Arkani-Hamed e Maldacena hanno tradotto le dieci simmetrie dello spazio di De Sitter in una concisa equazione differenziale che determina il risultato finale. In un articolo del 2015 hanno risolto l’equazione nel “limite schiacciato” di triangoli e quadrilateri molto stretti, ma non sono stati in grado di risolverla nel caso generale.

Daniel Baumann e Hayden Lee, all’epoca rispettivamente professore e dottorando all’Università di Cambridge, insieme a Pimentel ad Amsterdam, hanno trovato presto il modo di estendere la soluzione di Arkani-Hamed e Maldacena a funzioni di correlazione a tre e quattro punti per vari possibili campi primordiali e particelle associate. Arkani-Hamed ha avviato una collaborazione con i giovani fisici e insieme i quattro hanno fatto grandi passi avanti negli aspetti matematici.

Hanno scoperto che la chiave è in una specifica funzione di correlazione a quattro punti, perché una volta risolta l’equazione differenziale che la definisce possono ricavarne con il bootstrap tutte le altre. “In sostanza hanno dimostrato che le simmetrie sono sufficienti, con solo alcuni requisiti extra, per dare la risposta completa”, commenta Xingang Chen, un cosmologo dell’Università Harvard i cui calcoli sulle correlazioni a più punti hanno contribuito a ispirare il lavoro del 2015 di Arkani-Hamed e Maldacena.

Un punto su cui bisogna essere cauti è che l’equazione del bootstrap parte dall’ipotesi di interazioni deboli tra i campi primordiali, mentre alcuni modelli di inflazione prevedono dinamiche più forti. Arkani-Hamed e i suoi collaboratori stanno indagando su come fare a meno dell’ipotesi di debolezza, ma già così la loro equazione semplifica molti calcoli esistenti in letteratura. Per esempio, il calcolo svolto nel 2002 da Maldacena per la più semplice funzione di correlazione a tre punti, che riempiva decine di pagine, “diventa di poche righe”, dice Pimentel.

big bounce
Raffigurazione del big bounce

Finora i calcoli hanno riguardato le configurazioni spaziali che possono emergere dall’inflazione cosmica. A teorie alternative sulla nascita dell’universo dovrebbero corrispondere configurazioni a più punti diverse. Negli ultimi cinque anni c’è stato un rinnovato interesse per la cosmologia “del rimbalzo”, che riformula il big bang come un big bounce (rimbalzo) di un’era precedente.

Il nuovo approccio basato sulla simmetria potrebbe essere utile per distinguere tra le correlazioni a più punti di un universo che ha subito un’inflazione e uno che è rimbalzato. “Il meccanismo sarebbe diverso; le simmetrie sono diverse”, secondo Pimentel. “Avrebbero un menu di correlazioni cosmologiche diverso.”

Si tratta di ulteriori calcoli da svolgere con i nuovi strumenti matematici. Ma i ricercatori stanno anche continuando ad approfondire gli aspetti matematici in sé. Arkani-Hamed sospetta che l’equazione ricavata da lui e dai suoi collaboratori con il bootstrap possa essere correlata a un oggetto geometrico, analogo all’amplituedro, che codifica le correlazioni emerse durante la nascita dell’universo in modo ancora più semplice ed elegante. Ciò che sembra chiaro fin d’ora è che la nuova versione della storia non comprenderà la variabile nota come tempo.

Da dove viene il tempo

L’amplituedro ha ridefinito le collisioni fra particelle – eventi apparentemente temporali – in termini di una geometria priva di tempo. Quando è stato scoperto, nel 2013, molti fisici hanno visto un motivo in più per pensare che il tempo sia una proprietà emergente: una variabile che percepiamo e appare nella nostra descrizione grossolana della natura, ma che non è scritta nelle leggi definitive della realtà.

In cima all’elenco dei motivi che giustificano questa idea c’è il big bang: fu l’occasione in cui cominciò il tempo come lo conosciamo, e quindi comprendere appieno quel momento iniziale sembra richiedere una prospettiva atemporale. “Se c’è qualcosa che ci richiede di trovare un sostituito del concetto di tempo, è questo tipo di problemi cosmologici”, ha detto Arkani-Hamed.

I fisici cercano quindi una matematica atemporale che generi quello che sembra un universo che si evolve nel tempo. Le recenti ricerche danno qualche indicazione su come possa essere fatta una teoria del genere.

Si parte dalle dieci simmetrie dello spazio di De Sitter. Per ogni dato insieme di ingredienti inflazionari, queste simmetrie danno luogo a un’equazione differenziale. Le soluzioni dell’equazione sono le funzioni di correlazione, espressioni matematiche che dicono come varia l’intensità delle correlazioni di ogni particolare figura geometrica in funzione della dimensione, degli angoli interni e delle proporzioni tra le lunghezze dei lati. In particolare, risolvere l’equazione per ottenere queste espressioni richiede di considerarne le singolarità: combinazioni delle variabili prive di senso matematico che possono essere paragonate a dividere per zero.

Di solito l’equazione diventa singolare, per esempio, nel caso limite di un quadrilatero in cui due lati adiacenti tendono a inclinarsi uno verso l’altro, in modo che il quadrilatero si avvicini sempre più alla forma di un triangolo. D’altronde, anche i triangoli (ovvero le correlazioni a tre punti) sono soluzioni ammissibili dell’equazione. Quindi i ricercatori richiedono che il “limite ripiegato” della funzione di correlazione a quattro punti corrisponda alla funzione di correlazione a tre punti per quel limite. Con questo requisito si seleziona una specifica soluzione come corretta funzione di correlazione a quattro punti.

Willem De Sitter
Willem De Sitter (© Pubblico dominio via Wikimedia Commons)

Questa funzione sembra oscillare. In pratica, ciò significa che, quando i cosmologi sovrappongono al cielo un quadrilatero e cercano ai quattro angoli quantità di materia maggiori della media, e poi fanno lo stesso con quadrilateri via via più stretti, dovrebbero vedere che l’intensità del segnale a quattro punti così rilevato va su e giù.

Questa oscillazione ha un’interpretazione temporale: le coppie di particelle che si formarono nel campo dell’inflatone interferivano l’una con l’altra. Mentre succedeva questo, la loro probabilità di decadimento variava in funzione del tempo (e quindi della distanza) tra di loro. Fu così che esse impressero nello spazio una struttura oscillatoria di correlazioni a quattro punti. “Poiché le oscillazioni sono sinonimo di evoluzione temporale, questo per me è il più chiaro esempio dell’emergere del tempo”, afferma Baumann, che ora insegna all’Università di Amsterdam.

In questo e in molti altri esempi l’evoluzione del tempo sembra provenire direttamente da simmetrie e singolarità.

Al momento, tuttavia, l’equazione ottenuta con il bootstrap rimane un curioso misto di matematica e fisica. In questa equazione le lunghezze dei lati hanno le dimensioni di una quantità di moto – una grandezza fisica – e le funzioni di correlazione mettono in relazione grandezze in posizioni lontane.

Arkani-Hamed cerca una formulazione più semplice e più puramente geometrica degli aspetti matematici che, se trovata, potrebbe chiarire meglio il possibile emergere del tempo e i principi che ne sono alla base. Per le interazioni tra particelle descritte dall’amplituedro, per esempio, la sensatezza dei risultati è garantita da un principio chiamato positività, che definisce il volume interno dell’amplituedro. La positività può svolgere un ruolo anche nel caso cosmologico.

Un altro obiettivo è estendere questa storia dall’inizio dell’universo alla sua fine. Se continueranno le tendenze attuali, l’universo un giorno raggiungerà uno stato in cui verranno ripristinate le dieci simmetrie di De Sitter. Questo ritorno potrebbe avvenire a migliaia di miliardi di anni da oggi, quando l’espansione sarà tale che ogni oggetto, fino alla minima particella, sarà lontano dal contatto causale con ogni altro oggetto, facendo sì che l’universo si comporti come se fosse vuoto, perfettamente simmetrico rispetto a traslazioni, rotazioni, dilatazioni e trasformazioni conformi speciali. Resta da capire che cosa avrà a che fare questo possibile stato finale di De Sitter con l’inizio postulato dall’inflazione, a sua volta di tipo De Sitter.

Ricordiamo che un universo in inflazione avrebbe avuto quasi, ma non esattamente, la geometria dello spazio di De Sitter. In uno spazio di De Sitter perfetto, nulla cambia nel tempo; nell’espansione verso l’esterno le dieci simmetrie sono immediatamente presenti. Il campo dell’inflatone spezzò in modo debole questa simmetria temporale inserendo lentamente energia nel corso del tempo e avviando il cambiamento. Baumann lo considera necessario per creare la cosmologia. “In ambito cosmologico, per definizione, vogliamo qualcosa che si evolva nel tempo”, spiega. “Nello spazio di De Sitter non c’è evoluzione. È interessante che viviamo molto vicino a quel punto.” E per spiegarlo confronta l’universo primordiale con sistemi, come l’acqua o un magnete, molto vicini al punto critico in cui subiscono una transizione di fase. “Viviamo in un posto molto speciale”, conclude.

(L’originale di questo articolo è stato pubblicato il 29 ottobre 2019 da QuantaMagazine.org, una pubblicazione editoriale indipendente online promossa dalla Fondazione Simons per migliorare la comprensione pubblica della scienza.)

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