I ricercatori trovano la storia nei diagrammi degli Elementi di Euclide

Il quarto libro di Euclid’s Elements, un testo geometrico di 2.300 anni, include le istruzioni per costruire un poligono a 15 lati all’interno di un cerchio. Il primo passo è familiare agli studenti di geometria: disegna un triangolo equilatero e un pentagono regolare in modo che i loro vertici tocchino il cerchio e le due forme condividano un vertice. Oltre alle indicazioni testuali, gli elementi includevano diagrammi che illustravano il metodo.

Elementi di Euclide
I segmenti di linea sono stati disegnati e cancellati nella copia completa più antica degli Elementi, un manoscritto del IX secolo conservato nella Biblioteca Vaticana. Immagine per gentile concessione della Divisione Catalogo, stampe e fotografie online della Biblioteca del Congresso.

È impossibile sapere quali fossero i diagrammi originali di Euclide, ma i manoscritti superstiti rivelano sorprendenti variazioni nella rappresentazione di forme geometriche come il pentadecagono. Per gli occhi moderni, queste variazioni sembrano errori: in alcune versioni medievali del testo, i segmenti di linea misurano la lunghezza sbagliata. Nella copia più vecchia degli Elementi,un manoscritto del IX secolo custodito nella biblioteca vaticana, i segmenti sono stati disegnati e cancellati. Un altro testo del IX secolo all’Università di Oxford mostra i lati del pentadecagono all’interno del cerchio come irregolari e curvi, non diritti. Anche una copia del XII secolo a Parigi usa le curve, ma sono leggermente meno sinuose rispetto alla versione precedente di Oxford. A Vienna, si può trovare un testo dell’11 o del 12 ° secolo in cui le linee originali erano della lunghezza giusta e diritte, ma qualcuno in seguito aggiunse segmenti curvi [1].

Gli Elementi ricevono molta attenzione, ma non è l’unico testo scientifico storico con questi temi schematici. Si presentano in copie di opere di Ibn al-Haytham, Archimede, Aristotele e Tolomeo. Le varianti includono linee parallele che non sono forme errate, linee uguali o angoli disegnati in modo non equo o angoli non uguali che potrebbero essere mostrati come congruenti. Ad esempio, un manoscritto del 10 ° secolo dell’Archimede Palimpsest utilizza un triangolo isoscele per rappresentare una parabola. Questi possono sembrare poco più che capricci della storia, ma alcuni ricercatori vedono intriganti indizi tra i disegni, suggerimenti su come la matematica si sia evoluta nel corso dei millenni.

Elementi di Euclide
Questo frammento degli Elementi faceva parte dei Papiri Oxyrhynchus, un gruppo di manoscritti scoperti nel 1897 in un’antica discarica di Oxyrhynchus, in Egitto. Circa 2000 anni fa, il testo allude alla quinta proposizione del Libro 2 degli Elementi . Immagine gentilmente concessa da Bill Casselman (Università della British Columbia, Vancouver).

I ricercatori stanno iniziando a studiare quelle variazioni per esplorare come le idee matematiche si sono diffuse e per ottenere informazioni su come le diverse persone si sono avvicinate all’argomento. Tradizionalmente, gli storici di matematica che studiano testi greci antichi si sono concentrati sulle parole e sui numeri, ignorando i diagrammi come semplici illustrazioni del testo. Questo focus omette parte della storia e della storia, afferma lo storico di matematica e scienze Nathan Sidoli alla Waseda University di Tokyo che, insieme al suo collaboratore Ken Saito alla Osaka Prefecture University, ha osservato in un saggio del 2012 i cambiamenti schematici nel Pentadecagono e altre prove [1].

La matematica è ricca di astrazione e nel tempo le persone hanno trovato vari modi per visualizzare quelle astrazioni. “Fin dalla giovane età, siamo addestrati a comprendere le generalità in alcuni modi visivi”, dice Sidoli. “Guardando queste cose possiamo ricordare a noi stessi che questi non sono modi di vedere universali”.

I diagrammi hanno fatto parte della matematica per migliaia di anni di storia umana. I babilonesi calcolarono radici quadrate e conoscevano il principio del Teorema di Pitagora più di mille anni prima del tempo di Pitagora o Euclide. Le prove si presentano sotto forma di una tavoletta di argilla del XVII secolo aC, che mostra un diagramma geometrico di un quadrato e le sue diagonali insieme a numeri corrispondenti. Il pioniere della visualizzazione dei dati Edward Tufte, professore emerito in scienze politiche, informatica e statistica a Yale, definisce la tavoletta un “testimone grafico” per la conoscenza dei babilonesi.

Alcuni ricercatori sostengono che i diagrammi possono formare parte integrante della matematica e sono messaggeri attraverso le verruche e tutto il resto. Se un errore che si origina in una copia si propaga attraverso le versioni future, potrebbe mostrare che i copisti non hanno capito la matematica o non hanno valutato l’accuratezza. D’altra parte, alcuni studiosi hanno usato diagrammi per aggiungere alla conoscenza degli Elementi. Dove Euclide potrebbe aver originariamente descritto le proprietà di un angolo acuto, per esempio, uno scriba successivo potrebbe aver aggiunto proprietà simili anche per ottusi e angoli retti.

L’intervento del lettore: The Elements, che contiene 13 volumi, è apparso in almeno centinaia di edizioni e fino al secolo scorso era il secondo libro più venduto al mondo. (La Bibbia fu la prima.) Ma non tutto negli Elementi venne da Euclide. I volumi rappresentano una raccolta di conoscenze matematiche note ai greci dell’epoca. Il fisico Stephen Hawking descrisse Euclide come “il più grande enciclopedista matematico di tutti i tempi”, paragonandolo a Noah Webster, che assemblò il primo dizionario di lingua inglese [2].

Gli elementi sono stati tradotti da greco, arabo, latino, ebraico e altre lingue. Il trattato si evolse man mano che cresceva e migrava, e così pure i diagrammi. I lettori hanno annotato i margini e hanno inserito le modifiche. Più tardi lettori e traduttori hanno visto sia il manoscritto che le aggiunte e hanno apportato delle revisioni che sembravano appropriate per il loro tempo. Quelle interazioni sono catturate nelle trascrizioni delle dimostrazioni e dei diagrammi negli Elementi, e l’atto di copiare è diventato un atto di trasformazione, dice Eunsoo Lee, uno studente di dottorato presso la Stanford University che studia l’evoluzione dei diagrammi nel tempo negli Elementi.

“Potremmo facilmente dimenticare il ruolo dei lettori nella realizzazione di diagrammi”, dice Lee, notando che potrebbero intervenire o mescolarsi marcando sul manoscritto. Più tardi, gli scribi hanno preso in considerazione quelle note. “Se hanno determinato che i diagrammi marginali [erano] superiori ai diagrammi principali”, spiega Lee, “i diagrammi marginali sono stati adottati come i diagrammi principali per le generazioni successive”. Questi cambiamenti visivi trasmettevano idee matematiche in modi che non potevano essere trasmessi attraverso il testo

È troppo semplicistico chiamare questi errori di modifica. Alcuni dei cambiamenti potrebbero essere stati intesi come miglioramenti; altri sorsero da pratiche culturali. L’arabo si legge da destra a sinistra, per esempio, così nelle prime versioni arabe degli Elementi gli orientamenti dei suoi diagrammi erano spesso angoli ribaltati che si aprivano a sinistra nei manoscritti antichi greci aperti a destra nelle versioni arabe. Tuttavia, quando quelle versioni arabe venivano tradotte in latino, alcuni scribi non ribaltavano i diagrammi.

Il matematico Robin Hartshorne, in pensione dall’università della California, Berkeley, sostiene inoltre che non è necessariamente giusto vedere il cambiamento dei diagrammi come un processo correttivo. Anche con le curve e le cancellature, quei diagrammi a pentadecagono hanno avuto il successo. Stampare gli elementi con diagrammi accurati riflette i valori di un tempo, dice, ma è una pratica sleale rispetto alle versioni precedenti. “Lo chiamerei ridisegnare il diagramma al gusto dei matematici moderni che amano vedere l’esattezza metrica”, dice Hartshorne.

“Questi sono diagrammi disegnati a mano di cose che non sono necessariamente facili da rappresentare”, aggiunge la storica della scienza Courtney Roby, che studia testi scientifici antichi presso la Cornell University, a Ithaca, New York. “I diagrammi sono le creazioni di singoli autori e scribi, e la loro creatività, sperimentazione e cambiamento”.

Un’evoluzione elementare: Lee si concentra sui manoscritti del nono secolo attraverso la prima versione stampata degli Elementi, che apparve nel 1482 con l’avvento della stampa. Da quel momento in poi, dice Lee, gli Elements sono diventati un libro di testo standard in molte università europee, ei suoi diagrammi sono diventati strumenti di insegnamento. Di conseguenza, “si trovano forme completamente diverse di diagrammi nell’era della cultura della stampa”, afferma Lee, che sta digitalizzando una raccolta che include almeno 5 papiri, 32 manoscritti Geek, 92 manoscritti tradotti e 32 edizioni stampate degli Elementi. .

Fino al XIX secolo, il trattato di Euclide era considerato il modello di argomenti matematici rigorosi e strutturati. Questi argomenti richiedevano che i disegni abbiano un senso. “Non funzionano senza i diagrammi”, afferma il filosofo John Mumma della California State University, San Bernardino, che ha sostenuto che i diagrammi degli Elementi sono molto più che semplici visioni insegnabili e che svolgono un ruolo importante all’interno dell’argomento del prova stessa [3]

Tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo, i matematici sfidarono la supremazia degli Elementi in parte a causa della dipendenza di Euclid dai diagrammi. Il matematico tedesco David Hilbert in particolare ha chiesto un approccio più formale alla matematica che usasse la logica da solo e non richiedesse diagrammi nelle sue prove e verità, che considerava una sorta di stampella matematica.

“Euclid’s Elements è stato liquidato come non rigoroso”, dice Mumma. “Si pensava di usare diagrammi in una sorta di modo intuitivo e aperto”.

Ad esempio, dove un diagramma negli Elementi potrebbe mostrare un punto su una linea tra altri due punti, Hilbert voleva una descrizione analitica di ciò che chiamava “traitanza”, senza fare affidamento su uno schizzo. Anche il filosofo e logico britannico Bertrand Russell ha criticato l’approccio di Euclide, osservando che molte delle prove del greco erano deboli perché traevano il loro potere di ragionamento dai diagrammi e non dalla logica. “Una prova valida conserva la sua forza dimostrativa quando non viene disegnata alcuna cifra, ma molte delle precedenti prove di Euclide falliscono prima di questo test”, ha scritto Russell nel 1902 [4]. (La prima prova negli Elementimostra come creare un triangolo equilatero usando due cerchi intersecanti. Tuttavia, si basa sul diagramma per giustificare il punto di intersezione, piuttosto che dimostrare la sua esistenza rigorosamente.)

Tuttavia, molti storici moderni della matematica considerano l’approccio di Euclide come un altro modo di vedere la matematica, che non è necessariamente più debole solo perché usa diagrammi. Questi studiosi sostengono che il diagramma fa la prova e non esiste un modo universale per comprendere la matematica. “Puoi davvero rendere chiaro, precisamente quali informazioni il diagramma tiene per l’argomento”, dice Mumma. “Non è solo un’illustrazione.”

La ricerca contemporanea incentrata sugli schemi iniziò in gran parte negli anni ’90, quando Reviel Netz della Stanford University e Kenneth Manders dell’Università di Pittsburgh, in Pennsylvania, iniziarono a sostenere che gli antichi diagrammi matematici meritavano un altro aspetto. Netz afferma che il campo si concentra su due aspetti: i visual stessi e il modo in cui le persone li usano [5,6]. Dice che il lavoro di Lee alla Stanford University, confrontando i diagrammi attraverso i secoli, mette insieme queste due aree per avanzare nel campo.

“È la prima persona a fare entrambe le cose contemporaneamente”, afferma Netz, che è anche consulente di Lee. Netz sostiene che il lavoro di Lee aiuterà gli storici a capire come “la scienza si è spostata dalla geometria teorica dei greci a … più usi fisici e applicati della geometria per il mondo reale”.

Dopo gli Elementi, Lee vuole analizzare i diagrammi in Ottica di Euclide – un primo trattato sulla fisica della luce – e quindi concentrarsi sui lavori di Tolomeo e Archimede. Dice che spera che la sua ricerca susciti interesse tra storici, filosofi e matematici nell’analizzare come le persone hanno usato i diagrammi – e lo fanno tuttora – per sondare idee profonde in matematica. “Tendiamo a considerarli come cose che possono essere rimosse”, dice. “Ma alcune idee non possono essere trasmesse dal testo. Devono essere trasportati da diagrammi. “

Referenze

  1. Saito K ,Sidoli N2012 ) Diagrammi e argomenti nella matematica dell’antica Grecia: lezioni tratte dai confronti tra i diagrammi dei manoscritti e quelli delle edizioni critiche moderne . The History of Mathematical Proof in Ancient Traditions , a cura di Chemla K ( Cambridge Univ Press ,Cambridge, UK ), pagg. 135 – 162
  2. Stephen Ornes
  3. Hawking S, ed ( 2002 ) On the Shoulders of Giants ( Running Press , Philadelphia ).
  4. Mumma J2010 ) Prove, immagini e Euclide . Synthese 175 : 255 – 287 .
  5. Russell B1902 ) L’insegnamento di Euclide . Math Gaz 2 : 165 – 167
  6. Manders KNetz R1998 ) Diagrammi matematici greci: il loro uso e il loro significato . Impara Math 18 : 33 –39 . 1995 ) Pratica geometrica basata su diagrammi . La filosofia della matematica pratica , a cura di Mancosu P ( Oxford University Press , Oxford ), pp 65 – 79 

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