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Stringhe e simmetrie: l’universo allo specchio

Parliamo della geometria come chiave di comprensione dell’universo e tenendo presente l’altra visione offerta dalle nostre lenti, di come le strutture trattate a questo fine abbiano avuto sviluppi e una realtà propria al di fuori della teoria per cui sono nate. Ma partiamo con ordine dalla motivazione fisica. Per spiegare le leggi che governano il mondo naturale abbiamo due teorie fondamentali: la relatività generale di Einstein, che funziona a grandi scale, e la meccanica quantistica per le scale più piccole. Sperimentalmente i dati di queste teorie danno risultati estremamente precisi. L’unico problema che si pone è che queste teorie sono incompatibili tra loro. La prima obiezione: se una funziona in un caso e l’altra nei restanti, perché preoccuparsi?

Perché l’universo ci ha posto dinanzi a oggetti che sono casi a metà strada tra l’una e l’altra scala di riferimento: nel centro di un buco nero, ad esempio, una massa grande è concentrata in dimensioni minuscole. Con oggetti di questo tipo, piccolissimi ma pesantissimi, secondo l’approssimativa introduzione che ho fatto sulle due teorie, dovremmo usarle entrambe.  Qui sorge il problema. Insieme le due teorie non vanno d’accordo come dovrebbero. Dovremmo immaginare quindi un universo che funzioni diversamente a diverse scale?

E’ qui che interviene la teoria delle superstringhe (conosciuta come teoria delle stringhe). Einstein spese parte della sua vita a cercare una teoria unificata senza riuscirci, anzi isolandosi dal filone della meccanica quantistica che allora era il campo di studi predominante (con la sua tipica ironia, scrisse che si sentiva “un vecchio solitario conosciuto ora solo per la sua avversione alle calze”, in realtà era come al solito in anticipo sui tempi). La teoria delle stringhe cerca di dare una risposta al suo sforzo e ci mostra non solo che meccanica quantistica e relatività generale possono convivere, ma anche che una ha bisogno dell’altra. Il prezzo da pagare, o, meglio, la bellezza intrinseca della teoria, è un nuovo cambiamento di prospettiva sui nostri concetti di spazio e tempo.

Viaggio nelle dimensioni

Usiamo la prima lente d’ingrandimento per vedere gli atomi. Ingrandiamo di più e arriviamo ai quark e agli elettroni (protoni e neutroni sono formati da quark), poi ancora ai muoni, ai mesoni ecc. Continuando ad ingrandire con dettagli superiori alle nostre capacità tecniche attuali, vedremmo che le particelle non sono puntiformi, ma consistono di laccetti, e cioè spazi ad una dimensione simili a circonferenze, chiamati stringhe.

Rimpiazzando la natura puntiforme della particella con quella di stringa riusciamo a risolvere il conflitto tra la meccanica quantistica e la relatività. Come vedremo, questo non è l’unico motivo per cui la teoria è diventata famosa. A seconda dei modi di vibrazione, le stringhe generano diverse manifestazioni della materia. L’universo funziona come un’arpa, la frequenza di vibrazione delle sue corde dà vita alle particelle, la cui massa e carica dipendono dalle oscillazioni della stringa. Lo stesso discorso vale per le forze.

La teoria è ancora in fieri mentre ne discutiamo a causa della sua originalità e della matematica sofisticata che ne è alla base. Un aspetto necessario è che la teoria delle stringhe prevede, per i modi di vibrazione di cui abbiamo parlato, non solo l’esistenza delle 4 dimensioni a cui siamo abituati ma di altre 6 dimensioni (nella versione più popolare). Traducendolo in linguaggio matematico, lo spazio N in cui si muovono le stringhe contiene dimensioni nascoste.

Nel prosieguo N deve essere considerato uno spazio a 10 dimensioni, di cui 4 sono le usuali introdotte con la relatività (tre spaziali più il tempo), mentre le altre 6 sono spazi chiamati varietà di Calabi-Yau di dimensione 6 (sotto indicati con la lettera M). Approfondirò cosa si intende per varietà e per spazio di Calabi-Yau tra poco.

NR4×MN≈R4×M

Per adesso perdonatemi l’introduzione di 6 dimensioni in più nel vostro spazio, anche se muovendo la mano per scorrere l’articolo le state attraversando senza accorgervene. Siamo arrivati dunque al punto che volevo mostrarvi dopo un’introduzione di cui perdonerete la lunghezza. Introduciamo la simmetria speculare.

Come la relatività, anche la Teoria delle stringhe ha forti nessi con la geometria. Una delle conclusioni più sorprendenti a cui si giunge è che, se nella geometria “ordinaria” una circonferenza di raggio R e una di raggio 1/R sono diverse, nella teoria delle stringhe accade che esse possono essere fisicamente indistinguibili. Il passo successivo di ogni buon matematico è generalizzare e chiedersi se non sia vero che spazi di forma differente in generale siano indistinguibili per la teoria. Questo fenomeno avviene ovviamente nelle 6 dimensioni introdotte prima. A questo punto potete obiettare giustamente che ancora non ho spiegato con chiarezza cosa sia uno spazio di Calabi-Yau e che quindi queste 6 dimensioni non siano ancora messe a fuoco.

Spazio di Calabi-Yau

Arriviamo ai luoghi in cui passeggeremo nel viaggio di scoperta della simmetria speculare. Visto che le dimensioni in cui muoverci sono 6, avremo bisogno di buone cartine e di buon senso dell’orientamento.

Mostriamo una foto. Notate che il problema che abbiamo nel visualizzare lo spazio è avere 6 dimensioni in un foglio che ne contempla 2 ma a questo siamo abituati: quando disegniamo o facciamo una foto rinunciamo sempre a qualche dimensione (Picasso e Braque avrebbero protestato su questa affermazione; gli chiedo scusa in anticipo!). Ecco qui uno spazio di Calabi-Yau:

spazio di calaby yau

Al di là di quello che vedete, questi spazi risulteranno molto gradevoli quando avremo i mezzi giusti per conoscerli.

Sono stati introdotti introdotti con il nome di varietà. Per spiegarla con poche parole e a grandi linee, una varietà è uno spazio localmente simile allo spazio euclideo che ben conosciamo.

Più su abbiamo parlato di cartine per orientarci. Ecco, se localmente sono simili allo spazio euclideo, su questi spazi possiamo avere le stesse cartine che usiamo per viaggiare sulla Terra, anch’essa solo localmente simile ad un piano. L’esempio della Terra mostra che globalmente in genere questi spazi non si comportano così bene: considerate la curvatura della sfera terrestre, molto diversa dal piano bidimensionale su cui la rappresentiamo. Lasciamo però le sottigliezze relative al problema per un altro articolo. Per ora basta aver fatto chiarezza sul concetto di varietà. Il nome Calabi-Yau invece fa riferimento ai due matematici che scoprirono queste strutture. Calabi concepì l’idea: parto da uno spazio con una distribuzione di materia. Ora, supponiamo che questa quantità sia zero, cioè lo spazio non abbia materia. La domanda di Calabi è: può esserci gravità anche se lo spazio è vuoto?

Vorrei far presente a tal proposito che Calabi pose la domanda per uno spazio a qualsiasi dimensione, questo a testimonianza di come la questione non fosse fisica e fosse relativa a realtà matematiche. Infatti Calabi disse che l’idea “non aveva niente a che fare con la fisica. Si trattava rigorosamente di geometria”. Calabi non fece esattamente la domanda come presentata sopra, ma per approfondire la questione ci sarebbe bisogno di scrivere pagine e pagine su strutture differenziali complesse. Ai nostri scopi basterà questa versione estremamente semplificata.

Yau rispose affermativamente alla domanda. Esistono varietà del tipo richiesto da Calabi (chiamate Ricci-piatte). Per dare risposta a questa domanda, che implicava il concetto di gravità, bisognava considerare l’equazione di Einstein. In questa equazione si uguaglia il flusso della densità di materia e momento in un punto a una parte della curvatura totale del nostro spazio (quello che viene chiamato tensore di Ricci). Vista la domanda di Calabi, bastava che questa “parte di curvatura totale” fosse uguale a zero.

Ecco, il bastava non era poi così semplice! La parte di curvatura totale da uguagliare a zero è un sistema di dieci equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari. Perché Calabi sollevò la questione? L’idea fondamentale alla base è il concetto di uniformità. Trovare strutture del tipo richiesto implicava che, anche con una conoscenza parziale dello spazio, avrei potuto trarre conclusioni sulla sua totalità.

spazio di calaby yau

Yau provò che l’equazione di Calabi ha infinite soluzioni e che le soluzioni di questa equazione (caso speciale dell’equazione di Einstein) sono spazi. Pur essendo una scoperta matematica, diede un impulso decisivo alla fisica. La teoria delle stringhe aveva bisogno di dieci dimensioni per preservare la simmetria. Perché?

Ogni teoria che si candida ad essere una teoria unificata deve prevedere una simmetria, principalmente per la coerenza con la meccanica quantistica, che deve esserne un ingrediente fondamentale. Per produrre ciò che vediamo nel nostro Universo, le stringhe hanno bisogno di dieci dimensioni anche per un fenomeno chiamato “cancellazione delle anomalie”. Lo spazio a 6 dimensioni da aggiungere alle 4 conosciute è uno spazio nascosto, che non vediamo perché è compattificato. Alla base di quanto detto finora ci sono concetti di analisi geometrica molto sofisticati che hanno preso parte alla congettura di Calabi e allo stesso tempo ne hanno complicato la soluzione.

Simmetria speculare

Dopo aver descritto i nostri spazi, possiamo parlare di ciò di cui mi occupo: la simmetria speculare e la sua formulazione matematica. Riepilogando: stiamo camminando e attraversando le nostre 4 dimensioni ma siamo ormai esperti esploratori delle 6 nascoste (su cui ormai non ci perdiamo più, avendo le equazioni per misurarle e per conoscerne la forma).

10 dimensioni sono necessarie affinché le stringhe vibrino e generino ciò che vediamo nell’Universo. Un aspetto di cui non ho ancora parlato è che gli spazi di Calabi-Yau, come intricate ciambelle, possono avere dei buchi. Questi buchi sono decisivi perché determinano i modi di vibrazione della stringa. Pensiamoci: i buchi in 6 dimensioni possono essere difficili da immaginare (si pensi a un buco tridimensionale o 5-dimensionale in uno spazio del genere). Fortunatamente la matematica offre strumenti che ci permettono di contarli e di conoscerli precisamente.

simmetria speculare

Il modo di vibrazione delle stringhe però non dipende dalla dimensione dei buchi ma dal suo numero totale. Quindi una varietà con un buco monodimensionale e una con uno tridimensionale avranno sì forma diversa, ma daranno luogo a universi fisici con lo stesso numero di famiglie di particelle. Restringiamo la condizione: voglio che tutte le proprietà fisiche dei due universi di forma diversa coincidano.

Come risultato ho due spazi con proprietà geometriche differenti ma che danno origine allo stesso Universo se usati per compattificare le dimensioni extra della teoria delle stringhe. La simmetria speculare può così spiegare la fisica delle stringhe e allo stesso tempo la matematica degli spazi di Calabi-Yau. I matematici hanno caratterizzato questi spazi senza sapere delle applicazioni fisiche future, i fisici hanno scoperto che alcuni di questi sono strettamente interconnessi.

Capirete che tutto ciò è uno strumento di indagine in più: se sto calcolando proprietà in uno spazio dove i calcoli diventano impossibili, posso saltare nello spazio speculare e diminuire la complessità dei calcoli. È come dover contare delle palline da golf ammassate in un silos gigante e improvvisamente sapere che quel silos viene riempito con 10000 scatole di palline. Basterà contare quante palline può contenere una singola scatola. In questo modo contarle in uno spazio una ad una diventa molto più difficile che contarle in un altro spazio come quello rappresentato dalla scatola.

Ora il problema matematico è: come spiegare formalmente questa simmetria speculare e i suoi fondamenti geometrici? Sono stati fatti molti passi avanti in risposta a questa domanda da quando è stata posta. C’è un passo in più da fare (ed è quello che ho approfondito più a lungo): se ho una varietà di Calabi-Yau come posso costruirne un’altra che sia ad essa speculare nel modo in cui prevede la teoria delle stringhe? Questa sfida è stata raccolta da Strominger, Yau e Zaslow con una congettura conosciuta come congettura SYZ, ma per ora meglio fermarsi qui.

Abbiamo camminato e ci siamo persi in dimensioni nascoste, cercando nella matematica gli strumenti necessari per orientarci; abbiamo dato uno sguardo a un’idea di modellazione dell’universo ma, cosa più importante, abbiamo potuto fare esperienza di come le realtà matematiche costituiscano non solo delle strade verso luoghi a cui vogliamo giungere, ma anche e soprattutto delle vette da cui osservarli nella loro interezza.

Le sei dimensioni nascoste

Ci eravamo lasciati con una serie di accenni a strutture e concetti utili per inquadrare meglio il campo della Teoria delle stringhe e della simmetria speculare dal punto di vista matematico. Prima di iniziare focalizziamo di nuovo l’obiettivo. I fenomeni fisici ci pongono di fronte a nuove sfide, in questo caso l’evidenza di simmetrie ancora misteriose. La matematica ha il potere di esplorare e connettere mondi differenti.

Il punto che ci interessa è lo scambio proficuo tra i due campi: la realtà pone continuamente delle domande, la teoria quantistica e la teoria delle stringhe danno spiegazioni intuitive e a volte imprecise (dovute all’obiettivo intrinseco della materia), la matematica formalizza e rende rigorose le strutture e queste strutture prendono due direzioni:

  • sono nuova linfa od origine di sviluppi in campi esclusivamente matematici;
  • ritornano” nel mondo reale e danno impulso a nuove idee fisiche.

Per fare un esempio concreto di una simmetria e dualità di teorie in fisica basti pensare al più famoso: il dualismo onda-particella. L’elettrone può essere considerato sia un’onda sia una particella. Il fenomeno fisico è unico, il punto di vista presenta due prospettive ugualmente giuste che dipendono dalla natura della domanda e non dalla natura dell’elettrone: in alcuni casi è più utile considerarlo una particella, in altri un’onda. Allo stesso modo, la simmetria speculare offre due “viste” ugualmente valide sulla geometria quantistica e, in ultima analisi, sulla realtà che essa descrive.

Equazione di campo nel vuoto

Prima di arrivare alla simmetria speculare nella terza e ultima parte di questi articoli, vorrei soffermarmi sugli spazi di Calabi-Yau introdotti nel precedente intervento: iniziamo a nuotare negli oceani invisibili a sei dimensioni nascosti nell’Universo. Per iniziare a dare le prime bracciate in acque basse e tranquille bisogna ripartire dall’equazione di campo di Einstein.

Primo punto: la gravitazione non è da considerarsi una forza, ma solamente una curvatura dello spaziotempo. Questo è un argomento-cardine della concezione di Einstein. Quali conseguenze?

Per funzionare, quest’idea deve liberarsi dalla dipendenza da coordinate privilegiate. Badate bene, questo non significa che devo eliminare la concezione di coordinate ma, cosa molto più sottile, che le equazioni della teoria non devono dipendere dalla scelta di queste. Nello specifico della teoria di Einstein potrei usare le coordinate di Minkowski per misurare le distanze nello spazio in maniera molto semplice:

La metrica sopra esposta è la privilegiata nello spazio piatto ma ovviamente non l’unica e, cosa fondamentale, non svolge nessun ruolo fisico. Come mai? Se un sistema di coordinate fosse quello privilegiato dalla Natura e ci fosse un “sistema di riferimento naturale”, allora perderei il principio di equivalenza e tornerei nel caso della “forza gravitazionale”. Questo è chiamato principio di covarianza generale.

Non resta che tradurre in equazione quanto detto. La domanda a cui rispondere è: come collegare la curvatura R dello spaziotempo con il tensore T di energia-quantità di moto?

Per i nostri scopi ci basti sapere che un tensore è un oggetto che ci consente di descrivere grandezze indipendentemente dalla scelta del sistema di riferimento. Pensate al tensore come ad una generalizzazione di vettori e matrici.

Ora proviamo a rispondere alla domanda. Un corpo che orbita nel campo gravitazionale della Terra è soggetto ad accelerazioni verso l’esterno in alcune direzioni e verso l’interno in altre, quelle che si chiamano forze di marea e che sono la manifestazione della curvatura dello spaziotempo. L’accelerazione verso l’interno è misurata da un tensore chiamato tensore di Ricci, che indichiamo con R (diverso dal grassetto usato prima). Uno degli obiettivi di Einstein è ritrovare la teoria standard di Newton quando ci avviciniamo al limite newtoniano di piccole velocità rispetto alla luce e campi gravitazionali deboli.

Quindi, avendo come premessa le idee delle forze di marea, della teoria standard di Newton per casi specifici, della curvatura dello spazio e del fatto che le equazioni devono valere per tutti gli osservatori per lo stesso evento, si arriva ad un’equazione di campo:

in cui è la costante gravitazionale di Newton, R il tensore di Ricci e T  l’energia-quantità di moto (che all’interno come componente 0 contiene la densità di massa, vista l’equivalenza E=  ). Domanda sul caso particolare: e se non c’è materia? Se non c’è materia, allora

siamo nel vuoto e

R_{\mu \nu }=0\,.

Uno spazio con tensore di Ricci vuoto è detto spazio Ricci-piatto.

Nuovi spazi, nuova fisica

Arriviamo dunque ai nostri spazi, che sono i costituenti nascosti dell’Universo così come teorizzato dalla Teoria delle stringhe.

Tutto nasce dall’intuizione del matematico Eugenio Calabi. L’episodio è indicativo di un modus operandi tipico della matematica: ho una condizione generale e la uso per trovare condizioni specifiche da applicare a tutto lo spazio. Calabi afferma, nel caso di una dimensione complessa (equivalente a due reali), che, di fronte ad una forma la cui curvatura media sia zero, posso trovare una geometria per cui la curvatura è zero ovunque. Il fisico Robert Greene disse a proposito: “State cercando la metrica che vi è stata assegnata da Dio”, riferendosi al fatto che, vedendo una metrica (e quindi una geometria), avrei potuto cogliere tutte le altre. Come si lega questo all’equazione di Einstein?

Anche qui la condizione espressa da Calabi prevede che la curvatura di Ricci (sì, proprio lei!) sia mediamente pari a zero. Sorprendente! Abbiamo chiuso il paragrafo precedente con l’equazione di Einstein nel vuoto e ora la ritroviamo qui. La curvatura di Ricci in dimensione due (la dimensione presa in considerazione da Calabi) è proprio equivalente alla curvatura Gaussiana, che dipende solo ed esclusivamente dalle distanze dei punti all’interno della superficie. Si noti che in dimensioni superiori le due curvature sono diverse.

Quindi Calabi sostiene che se la curvatura di Ricci mediamente è pari a zero, allora esiste una metrica con proprietà particolari e con curvatura di Ricci zero ovunque. Per dimostrare la congettura di Calabi non resta quindi che dimostrare l’esistenza di una metrica Ricci-piatta, cioè risolvere equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari: le equazioni di Monge-Ampère. Vediamo queste equazioni a cosa sono legate.

eugenio calabi
Eugenio Calabi

Calabi fa un esempio che è semplice ma illuminante: voglio mettere un foglio di plastica teso sul bordo di un cerchio indeformabile e stirare o restringere la superficie di questo foglio. Se sottoposto a stiramento il foglio al centro avrà una protuberanza verso l’alto, con curvatura positiva: questa è una soluzione di forma ellittica dell’equazione di Monge-Ampère. Se invece il foglio è soggetto a compressione, al centro il foglio formerà una sella e avrò una soluzione iperbolica. Se la curvatura è zero ovunque, la soluzione sarà parabolica. Stessa equazione di Monge-Ampère, tecniche di risoluzione diverse.

Delle tre, la soluzione ellittica è la più facile da analizzare, l’iperbolica presenta molte singolarità, mentre la parabolica è a metà strada tra le due. Ciò significa che un’equazione parabolica avrà delle singolarità ma sarà facile spianarle. Le equazioni di Calabi fortunatamente sono del tipo ellittico pur essendo in relazione con le equazioni di Einstein che però sono iperboliche. Possiamo pensarle come equazioni di Einstein a cui abbiamo sottratto il tempo: siamo in un mondo in cui il tempo è in pausa.

Il matematico Yau inizia ad occuparsi del problema: risolvere le equazioni di Monge-Ampère pluridimensionali e non lineari. L’interazione tra geometria ed equazioni differenziali alle derivate parziali è l’aspetto più importante e più notevole. Yau trova la strada verso la soluzione utilizzando il metodo di continuità, cioè con approssimazioni successive che si avvicinano sempre di più alla soluzione. Facendo delle stime e controllando se la risposta cercata sia almeno possibile, Yau arriva alla soluzione fino alle stime di terz’ordine: il segreto è mettere la possibile soluzione in una scatola non troppo grande in modo da limitarla e dimostrarne l’esistenza.

Per la stima dell’equazione di Monge-Ampère del secondo ordine, ad esempio, Yau utilizza disuguaglianze di Poincaré e di Sobolev , con integrali e derivate di vario ordine. Per stimare la stabilità della funzione si avvale poi delle potenze p-esime. La “tecnica” è semplice: elevare la possibile soluzione a potenze sempre maggiori. Se la stima resta non troppo grande e non troppo piccola si può dire che è ormai stabile. La maniera sommaria in cui ho descritto i dettagli delle equazioni e le tecniche risolutive per trovare le stime non deve assolutamente far pensare ad un lavoro banale: quando Calabi vide la dimostrazione, disse che per verificarla ci sarebbe voluto un mese buono. Cosa era accaduto? Yau aveva provato l’esistenza della metrica senza trovarne una formula precisa.

Come conseguenza della dimostrazione abbiamo la conferma dell’esistenza di forme pluridimensionali che soddisfano l’equazione di Einstein in caso di assenza di materia: le varietà di Calabi-Yau. L’equazione fondamentale della congettura di Calabi, che è un caso speciale dell’equazione di Einstein, ha infinite soluzioni e le soluzioni sono spazi. Questi spazi sono privi di simmetria globale, ma sono dotati di simmetrie interne interessanti.

La realtà si apriva dunque a diverse possibilità, il mondo diventava più interessante, forse più confuso, ma la fisica di lì a poco avrebbe preso la versione 6-dimensionale di quegli spazi e ne avrebbe fatto il punto centrale della teoria delle stringhe.

Stringhe e simmetrie: l’universo allo specchio

In uno studio del dipartimento di Fisica di Harvard Brian Greene e Ronen Plesser sono alle prese con lo sviluppo di metodi matematici per la creazione di nuovi spazi di Calabi-Yau. La tecnica più usata in quel periodo è chiamata orbifolding: consiste nell’incollare punti differenti di uno spazio di Calabi-Yau iniziale per averne uno nuovo. Incollando gruppi di punti in maniera particolare, si imbattono in una scoperta sorprendente: il numero di buchi di dimensione dispari del nuovo spazio è esattamente uguale al numero di buchi pari dello spazio originario. Qual è l’implicazione immediata? Il numero di buchi totale è lo stesso, quindi, per quanto detto finora sulla teoria delle stringhe, il numero di famiglie di particelle è lo stesso per due spazi con forma e struttura diverse.

Nello stesso anno, dallo Stanford Linear Accelerator Center viene avanzata l’ipotesi che gli spazi in cui compattifichiamo le sei dimensioni extra dell’universo, seppur diversi, possano dar luogo alla stessa fisica.
Inoltre, dall’University of Texas il fisico Philip Candelas e i suoi studenti generano al computer una serie di spazi di Calabi-Yau e scoprono che si distribuiscono a coppie, scambiandosi il numero di buchi di dimensione pari e di dimensione dispari. Siamo giunti alla scoperta della simmetria speculare (mirror symmetry).

simmetria speculare

Pensiamo a questa situazione: sto calcolando massa e cariche di alcune particelle. Ho scelto uno spazio di Calabi-Yau per le dimensioni extra del nostro spazio. Voglio effettuare un esperimento mentale per mostrare come sarebbe il mondo se scegliessi un particolare spazio di Calabi-Yau. Arrivo però ad un calcolo matematico molto arduo, impossibile da effettuare. So però che la fisica associata ad uno spazio speculare è identica, da cui l’idea: mi metto nell’altro spazio! I calcoli sono diversi, il risultato resta lo stesso. Come vantaggio ho che i calcoli spesso diventano estremamente più semplici. Posso così continuare a lavorare sulle proprietà delle particelle. Le conseguenze immediate sono come sempre in due versi. La simmetria speculare infatti:

  1. Fornisce ai matematici uno strumento per andare da uno spazio all’altro semplificando i calcoli;
  2. Pone ai fisici delle domande su nuovi spazi di Calabi-Yau, la cui risposta prevede la conoscenza dei fondamenti geometrici del fenomeno e chiama in causa strumenti matematici avanzati.

Buoni specchi, vecchie simmetrie, nuovi spazi

È il momento di passare ad un po’ di matematica e a qualche formula in più. Prima però una premessa è d’obbligo. Ciò che ci interessa è il punto 2 del finale di paragrafo precedente. Quali sono i fondamenti geometrici di questa scoperta? Come costruire spazi simmetrici a partire da quello dato?

La prima risposta a queste domande arriva nel 1996 con una proposta di tre studiosi: Andrew Strominger, Eric Zaslow e Shing-Tung Yau (sì, proprio lui che aveva risposto alla congettura di Calabi, scoprendo gli spazi di Calabi-Yau). La congettura dice che una varietà di Calabi-Yau può essere suddivisa in due spazi tridimensionali. Uno di questi è un toro tridimensionale. Se separiamo il toro dal resto e lo “invertiamo” (Il raggio dal valore r passa a 1/r) e rimettiamo insieme i pezzi, otterremo la varietà speculare dell’originale.

Il toro di cui si parla nella congettura è semplicemente il nome che i matematici danno ad un oggetto a forma di ciambella. In più, secondo la congettura, le sottosuperfici (intese come oggetti discreti di dimensionalità inferiori a quella data) delle varietà di Calabi-Yau che soddisfano la supersimmetria sono sottovarietà lagrangiane speciali. La loro specialità risiede principalmente in due caratteristiche: la loro dimensione è la metà dello spazio nel quale risiedono e obbediscono al principio di minimo per quanto riguarda lunghezza, area o volume.

Facciamo un esempio. Uno spazio di Calabi-Yau semplicissimo è il toro bidimensionale, cioè la superficie a ciambella. La sottovarietà lagrangiana speciale è uno spazio unidimensionale (metà della dimensione di quello in cui risiede), cioè nient’altro che il loop che passa per il buco della ciambella. Visto che deve avere lunghezza minima, sarà un cerchio, più precisamente un cerchio di diametro minimo che attraversa il foro.
L’immagine che segue può essere più esplicativa:

ciambella_specchi_simmetrie

Le sottovarietà sono i cerchi disposti in B, che è esso stesso un cerchio. Ciascun punto in B corrisponde ad un cerchio diverso. Tutta la varietà nasce dall’unione dei punti in B. Si dice che B parametrizza l’insieme dei cerchi e lo chiamiamo spazio dei moduli: contiene in sé un indice di ogni sottospazio della varietà di partenza.

Descrivere bene B è importante, in quanto, oltre ad essere un elenco dei vari sottospazi, indica anche come sono disposti. Pensate cosa accade quando aumentiamo la dimensione del toro bidimensionale passando a quattro dimensioni reali. Le sottovarietà, che prima erano cerchi, ora sono tori. B quindi non sarà un cerchio ma una sfera bidimensionale i cui punti corrispondo a diverse ciambelle. Aggiungiamo ora altre due dimensioni, così da avere una varietà di Calabi-Yau a 6 dimensioni reali, quella che ci occorre per la teoria. B diventa una 3-sfera, cioè una sfera con una superficie tridimensionale e i sottospazi diventano ciambelle tridimensionali.

Siamo arrivati al momento in cui inserire la simmetria. Abbiamo una varietà costituita dalle sottovarietà catalogate nello spazio dei moduli B. Come facciamo in teoria delle stringhe, senza alterare la fisica, prendiamo le sottovarietà di raggio r e usiamo l’inversione 1/r. Per descrivere lo spostamento di una stringa su un cerchio dobbiamo considerare due quantità: la quantità di moto e l’indice di avvolgimento, cioè il numero di volte in cui la stringa si avvolge.

Se sulla varietà di raggio r la quantità di moto è 0 e l’indice di avvolgimento è 3, su quella di raggio 1/r la quantità di moto sarà 3 e l’indice di avvolgimento 0. Quando estendiamo questo fenomeno dal cerchio al toro, parliamo di T-dualità. La congettura SYZ (dalle iniziali dei tre menzionati sopra) dice che la simmetria speculare coincide con la T-dualità.

Emerge chiaramente che una varietà e la sua speculare hanno in comune B, quello che abbiamo chiamato spazio dei moduli. Con la conoscenza di questo spazio, possiamo avere il quadro geometrico dell’origine della simmetria e una procedura per costruire coppie speculari.

Un po’ di matematica

Come promesso, vorrei mostrarvi un po’ di matematica della congettura per addentrarci nella bellezza del paesaggio che è stato costruito. Descriverò la congettura così come presentata nel 1996. Questo permetterà di vedere la formalizzazione di quanto detto finora.

CONGETTURA SYZ: Supponiamo che X e X˜ siano due varietà di Calabi-Yau speculari. Allora:

  1. Sia X che  X˜ ammettono una fibrazione di tori lagrangiani speciali sulla stessa base:

fibrato

  1. Le fibrazioni sono tori duali
  2. esiste una trasformata di Fourier che è responsabile dello scambio tra la struttura simplettica su X e quella complessa su X˜.

Scherzando (neanche troppo), il misterioso fenomeno della simmetria speculare è in una trasformata di Fourier. Prima di notare come questa congettura colleghi e coinvolga analisi matematica, geometria e algebra in maniera inestricabile e affascinante, meglio spiegare punto per punto alcuni concetti.

Del punto uno dobbiamo solo precisare cos’è una fibrazione, gli altri concetti li abbiamo introdotti nel paragrafo precedente. Un fibrato è una varietà che definiamo a partire da due altre varietà M e V, una chiamata spazio base e una fibra. Localmente (in una regione sufficientemente piccola di M) il fibrato somiglia al prodotto M×V. Spostandoci però su M le fibre possono essere contorte e differenti rispetto al semplice prodotto. Facciamo un esempio concreto: M è un cerchio e la fibra V è uno spazio a una dimensione modellato su RR . Nel caso più banale M×V è un cilindro bidimensionale (vedi immagine).

cilindro

Del punto 2 e della dualità abbiamo già parlato in precedenza. Il punto 3 è molto interessante. In queste varietà una struttura su una varietà corrisponde ad una di tipo diverso su un’altra. La struttura simplettica ha due particolarità: l’area simplettica di una superficie S con bordo non cambia per deformazioni di S che fissano il bordo e la varietà ha sempre dimensioni pari. Matematicamente si dice che uno spazio simplettico è una coppia (M,ω) in cui M è una varietà differenziabile finito-dimensionale e ω è una 2-forma chiusa non-degenere.

La struttura complessa di dimensione n invece è una varietà di dimensione reale 2n in cui le cartine che usiamo per orientarci sono modellate su particolari proprietà di Cr , che è lo spazio complesso ed è identificato con R2N . Infine, la trasformata di Fourier è un’applicazione che permette di trovare corrispondenze tra strutture sugli spazi di Calabi-Yau grazie alla ridefinizione delle funzioni su domini diversi (ricordate la questione della riduzione del grado di difficoltà trasportando le questioni da un contesto all’altro?). Non è molto importante se delle strutture introdotte non vi è chiaro tutto, ciò che conta è capire che si realizza proprio in questa dualità la possibilità di conoscere una varietà “guardandola più o meno comodamente seduti sulla sua speculare”.

Gettare una luce sui buchi neri

La matematica sofisticata sottostante alla teoria non ha impedito di usarla per dare alcune risposte. Un esempio riguarda i buchi neri. I buchi neri sono entità piccole, caratterizzate da grande massa, con scala delle distanze minuscola e curvatura dello spazio-tempo molto grande. Nel 1997 Hawking aveva scoperto che i buchi neri presentano una temperatura minuscola ma non nulla. Dunque fino ad evaporazione il buco nero emetterà energia termica. Se però la radiazione è solo termica, non ha contenuto informativo e quindi l’informazione immagazzinata scomparirà all’evaporazione del buco nero.

Questo è in contrasto con la meccanica quantistica secondo cui l’informazione di un sistema si conserva sempre. Hawking concluse che nel caso dei buchi neri l’informazione può andare persa. Strominger fece un bell’esempio a tal proposito: “Se si gettassero due cubetti di ghiaccio in una pentola d’acqua bollente, in linea di principio il giorno dopo posso stabilire che sono stati gettati lì anche se si sono sciolti”. Nel caso del buco nero no, tutta l’informazione andrebbe perduta! Quale occasione migliore per la teoria delle stringhe?

Ricorrendo alla nozione di entropia del buco nero, ci si domandò del contenuto e dell’immagazzinamento dell’informazione. Si arrivò a calcolare che l’entropia era elevatissima, contro ogni intuizione: essa rifletteva infatti tutte le possibili configurazioni del buco nero e avere un valore alto di entropia contrastava con il fatto che fino a quel momento un buco nero poteva essere descritto con appena tre parametri, che non sembravano più sufficienti. Una soluzione al problema del calcolo dell’entropia dei buchi neri poteva arrivare dalla teoria delle stringhe.

L’idea era di modellare il buco nero a partire dalle stringhe (o versioni a più dimensioni di queste), che hanno lo stesso tipo di carica, la stessa massa e la stessa tensione del buco nero. L’unico problema era stabilizzare le stringhe: infatti un oggetto con tensione elevata potrebbe restringersi fino a scomparire in assenza di una struttura che fermi questo fenomeno.

A questo punto la supersimmetria si è rivelata fondamentale: le varietà di Calabi-Yau intorno alle quali posso avvolgere le stringhe (o versioni a più dimensioni delle stringhe) hanno delle sottosuperfici stabili che non sono soggette a contrazione. Per avere una configurazione stabile, la stringa deve essere “ben stretta” alla nostra sottosuperficie e in più questa deve avere una sezione di area minima (ricordate per quali sottosuperfici abbiamo incontrato il principio di minimo?).

I sottospazi cercati sono le “curve chiuse” nelle varietà di Calabi-Yau, che sono di diverso tipo e in diverso numero a seconda della varietà scelta. I due fisici Strominger e Vafa scelsero un buco nero a 5 dimensioni (supersimmetrico) e ne calcolarono l’entropia secondo la formula di Hawking, basandosi solo sull’orizzonte degli eventi. Calcolarono poi il numero di configurazioni delle stringhe (a più dimensioni) dello stesso buco nero “costruito ad hoc” nel loro esperimento mentale.
I due valori di entropia per lo stesso buco nero erano perfettamente in accordo, corrispondenza perfetta!

Dimensioni nascoste, specchi e matematica sono tutti elementi del paesaggio che abbiamo visto e attraversato ma che è ancora selvaggio e inesplorato e si estende in ogni direzione. Abbiamo delle bussole, abbiamo gli strumenti ma non c’è altro campo magnetico se non quello della fantasia e della bellezza: è su queste due che si orienta la nostra scoperta e da cui dipende la nostra capacità di esplorare.

 

CC BY-NC-SA 4.0
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

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