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Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton

Solo cinque anni dopo la prima ipotesi di Planck riguardo l’atomicità dell’energia trasportata dalla radiazione, il quanto di energia passò per la prima volta dal rango di “stranezza” a quello di realtà scientifica grazie ad un giovane dottore in Fisica del Politecnico di Zurigo.

Quel giovane laureato era Albert Einstein, oggi considerato dall’opinione popolare come la personificazione stessa della Fisica, Nel 1905 egli pubblicò tre celeberrimi articoli articoli, il primo dei quali ha titolo « Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt », cioè « Su un punto di vista euristico circa la genesi e la trasformazione della luce » e riguarda l’effetto fotoelettrico (gli altri due articoli riguardano il moto browniano e la teoria della relatività ristretta).

L’effetto fotoelettrico

Nel 1887 Heinrich Hertz (1857-1894), lo scopritore delle onde elettromagnetiche, osservò quasi per caso che, illuminando una placca di zinco con radiazione ultravioletta, il metallo si caricava elettricamente. Dopo la scoperta degli elettroni da parte di J.J. Thomson, si comprese che il metallo, colpito dai fotoni, generava un’emissione elettronica: l’effetto fotoelettrico, per l’appunto, così battezzato dall’italiano Augusto Righi (1850-1920).

effetto fotoelettrico
Effetto fotoelettrico

Nel 1900, lo stesso anno dell’ipotesi di Planck, l’effetto fotoelettrico fu studiato nei particolari da Philipp von Lenard (1862-1947), tristemente famoso per essere stato uno dei “fisici di regime” del nazismo e per aver duramente attaccato la Relatività di Einstein, definita una “fisica giudea”. Egli utilizzò il seguente dispositivo:

La luce viene prodotta da un arco voltaico, attraversa un collimatore ed è convogliata su di un prisma monocromatore, che seleziona una ben precisa lunghezza d’onda per rifrazione. Regolando l’inclinazione del prisma è possibile selezionare un pennello di radiazioni nell’ambito dei raggi ultravioletti.

Attraverso una finestra di quarzo, materiale otticamente trasparente alla radiazione ultravioletta, il fascio di luce entra in un tubo a vuoto e colpisce una placca L, detta fotocatodo, costituita da un metallo alcalino come il cesio, che è caratterizzato da un potenziale di estrazione molto basso. La placca L emette allora elettroni che vengono raccolti da un collettore M, una placca opposta ad L, e danno vita ad una corrente facilmente misurabile dall’amperometro A. Questo dispositivo prende il nome di cella fotoelettrica.

effetto fotoelettrico

Tabuliamo ora i risultati dell’esperimento. Al di sotto di una certa frequenza di soglia fMIN, si osserva che non si ha alcuna emissione di fotoelettroni. Tale valore è caratteristico della natura del metallo, ed è chiamato soglia fotoelettrica.

L’energia cinetica degli elettroni si può ricavare utilizzando il potenziale frenante di una pila, come nel circuito soprastante; regolando tale potenziale per mezzo di un reostato S, è possibile annullare la corrente fotoelettronica perchè gli elettroni non hanno più energia sufficiente per superare la barriera di potenziale. Se v è la velocità di emissione dei fotoelettroni, si ha:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 1

Il potenziale frenante risulta direttamente proporzionale alla frequenza f; inoltre, al crescere di V l’intensità della corrente fotoelettronica cresce, ma poi tende a diventare costante, un valore tanto maggiore quanto maggiore è l’intensità luminosa incidente; e tale crescita è lineare.

effetto fotoelettrico

Sorprendentemente, questi risultati sono interpretabili solo utilizzando la teoria corpuscolare della luce! In altre parole, Einstein riportò in auge il vecchio modello proposto intorno all’anno 1000 da fisico iracheno Alhazen (vero nome Abū ʿAlī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Haytham, 965-1039) e poi nel 1704 dal celebre Isaac Newton (1642-1727), i quali consideravano la luce composta da minuscoli corpuscoli, chiamati da Einstein fotoni, e che era stato superato ai primi dell’Ottocento, quando l’inglese Thomas Young (1773-1829) dimostrò la veridicità del modello ondulatorio della luce, proposto nel 1690 dall’olandese Christiaan Huygens (1629-1695), evidenziando i fenomeni di diffrazione ed interferenza dell’emissione luminosa.

effetto fotoelettrico

Ma perchè risuscitare il modello corpuscolare? Perché, da un punto di vista classico, il campo elettrico (proporzionale alla radice quadrata dell’intensità della radiazione) dovrebbe essere responsabile sia dell’accelerazione che dell’emissione degli elettroni dall’elettrodo; l’energia E dei fotoelettroni dovrebbe quindi aumentare al crescere dell’intensità luminosa e della potenza incidente, mentre l’esperienza dimostra che essa dipende solo ed esclusivamente dalla frequenza; il numero dei fotoelettroni emessi, viceversa, è proporzionale all’intensità luminosa, come si vede qui sotto.

Ma soprattutto, l’effetto fotoelettrico è un “fenomeno a soglia”, perché i fotoelettroni vengono emessi solo se la frequenza della luce supera un certo limite fMIN, un fatto assolutamente inspiegabile alla luce della sola teoria ondulatoria della luce, data per certa e comprovata ai primi del Novecento.

effetto fotoelettrico

Supponiamo però che sia vera l’ipotesi di Planck, e che la luce sia composta da corpuscoli ciascuno dei quali ha energia h f. Quando uno di questi corpuscoli incide sul metallo (cesio nell’esperienza di Lenard), una parte della sua energia è spesa per estrarre l’elettrone dall’elettrodo metallico.

Tale energia è il cosiddetto lavoro di estrazione WE, ed è pari a e VE, cioè al prodotto della carica dell’elettrone per il potenziale di estrazione, che è caratteristico di ogni materiale. Ecco il lavoro di estrazione di alcuni metalli e la frequenza minima alla quale corrisponde l’emissione di fotoelettroni:

elemento WE
[eV]
fMIN
[1014 Hz]
litio 2,46 5,95
sodio 2,28 5,51
potassio 2,25 5,44
silicio 4,85 11,72
rame 4,48 10,83
argento 4,26 10,30
platino 5,36 12,95
mercurio 4,48 10,83

L’energia rimanente contribuisce all’energia cinetica E dell’elettrone. Il bilancio energetico è il seguente:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 2

dove il primo termine esprime l’energia cinetica del fotoelettrone, il secondo l’energia del fotone incidente, e il terzo l’energia di estrazione. Lo si può riscrivere più semplicemente:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 3

Se rappresento in un diagramma cartesiano l’energia del fotoelettrone in funzione della frequenza, trovo un diagramma rettilineo come quello disegnato qui sopra, che interseca il semiasse verticale negativo delle energie in un punto pari proprio a – WE.

La pendenza costante del grafico inoltre è pari alla costante h di Planck. In tal modo, usando l’ipotesi di Planck, Einstein interpretò con un ragionamento elegante e semplicissimo i risultati sperimentali, fornendo una conferma decisiva alla nascente Fisica dei Quanti.

Le applicazioni dell’effetto fotoelettrico sono molteplici: come esposimetri nelle macchine fotografiche, come contatori per misurare quante persone o auto attraversano una certa barriera, come dispositivi per azionare un cancello automatico o per far scattare il cronometro durante le competizioni sportive (“cellule fotoelettriche”) e, in generale, per mettere in evidenza una variazione anche piccola e veloce di un effetto luminoso.

Si può aggiungere che fenomeni analoghi all’effetto fotoelettrico ora descritto, e noto anche come “effetto fotoelettrico esterno”, si ritrovano nella Fisica dello Stato Solido, dove si ha un “effetto fotoelettrico interno”.

Esso consiste nella liberazione di portatori di carica da parte della radiazione; si osserva allora un aumento della conducibilità elettrica da parte dei semiconduttori. In Fisica Nucleare si studia anche il cosiddetto “effetto fotoelettrico nucleare”, in cui il nucleo atomico, dopo aver assorbito un fotone gamma, si eccita ed emette un nucleone, cioè un protone o un neutrone.

Effetto Compton

Da quel che precede si può concludere che la teoria ondulatoria della luce, così come fu formulata da Christiaan Huygens, è da ritenersi superata, perchè non spiega fenomeni come l’emissione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico.

D’altro canto, una visione puramente corpuscolare della radiazione è in netto contrasto con fenomeni quali la diffrazione e l’interferenza della luce. L’unica soluzione è quella che va sotto il nome di teoria corpuscolo-ondulatoria della propagazione luminosa: l’energia da essa trasportata è racchiusa in “pacchetti” discreti, che però si muovono lungo traiettorie ondulatorie.

Questo ulteriore modello verrà poi superato dalla Meccanica Quantistica, che – come vedremo – considererà piuttosto l’onda come una distribuzione di probabilità di probabilità di trovare il corpuscolo nello spazio.

Vediamo dunque un terzo fenomeno che, sebbene scoperto solo molti anni più tardi dei primi due, e quindi dopo i lavori di Niels Bohr sulla spettroscopia e sul modello atomico quantistico, ci costringe ad abbandonare il concetto di continuità caro alla Fisica Classica, per abbracciare l’ipotesi dei quanti di Max Planck. Si tratta dell’effetto Compton.

Arthur Compton
Arthur Compton (Wooster, 10 settembre 1892 – Berkeley, 15 marzo 1962)

Nel 1923 lo statunitense Arthur Compton (1892-1962) stava studiando la diffusione di raggi X da parte della materia. I raggi X sono radiazioni con lunghezza d’onda estremamente piccola, dell’ordine dell’Ǻngstrom, e quindi 100 volte più piccola della lunghezza d’onda della luce visibile.

La frequenza, di conseguenza, è 100 volte più grande, e quindi tale radiazione porta con sé un’energia 100 volte più grande di quella della luce visibile. Siccome le distanze reticolari all’interno dei cristalli sono anch’esse dell’ordine dell’Ǻngstrom, i raggi X possono diffrangere attraverso i reticoli cristallini, e quindi possono essere usati per studiare la natura della materia.

Compton osservò che, se un fascio di raggi X incide su di una sottile lastra metallica, lo spettro diffuso è formato da radiazione con frequenza minore di quella incidente, mentre Lord Rayleigh aveva classicamente previsto che la radiazione diffusa avesse la stessa lunghezza d’onda di quella incidente.

Compton allora ebbe l’idea che questo fenomeno fosse dovuto all’urto anelastico tra gli elettroni del metallo ed i quanti di luce. A prima vista la cosa appare stupefacente, poiché i fotoni sono privi di massa. È però vero che ad essi si può attribuire un impulso di natura relativistica. Se m è la massa relativistica del fotone, avremo:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 4

e quindi:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 5

da cui si ricava:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 6

Questo è l’impulso del fotone, cioè la quantità di moto associata ad un fotone di frequenza f e velocità c. Ma allora, se l’elettrone possiede un impulso, può urtare contro gli atomi del metallo. Durante l’urto, esso perderà parte della propria energia, che si trasformerà in energia cinetica dell’elettrone, e rimbalzerà con la propria energia diminuita e la propria frequenza aumentata:

Effetto Compton
Effetto Compton

Sia dunque f la frequenza del fotone incidente, e f ‘ < f quella del fotone diffuso. Se θ è l’angolo compreso tra la direzione della radiazione diffusa e quella della radiazione incidente, detto angolo di scattering, possiamo applicare il teorema di Carnot e scrivere:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 7    (2.6)

Effetto Compton

Ora, per il principio di conservazione dell’energia, si ha:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 8

dove E è l’energia del fotone incidente ed E’ quella del fotone diffuso. La precedente si può scrivere:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 9

da cui possiamo ricavare:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 10

La sostituisco nella (2.6) ed ottengo:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 11

Ma f ed f ‘ differiscono molto poco tra di loro, per cui possiamo eseguire l’approssimazione:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 12

Ne consegue:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 13

Passiamo dalle frequenze alle lunghezze d’onda mediante la nota formula f = c / λ:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 14

La possiamo riscrivere:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 15

Chiamiamo Δλ = λ’ – λ la variazione di lunghezza d’onda per effetto Compton. Dalla precedente ricaviamo allora:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 16

Il termine h / m c ha le dimensioni di una lunghezza, come dimostra la seguente verifica dimensionale:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 17

Tale termine viene chiamato lunghezza d’onda Compton, e vale:

Meccanica quantistica: effetto fotoelettrico e Compton 18

Tale valore è i perfetto accordo con l’esperienza, e verifica una volta di più la bontà dell’ipotesi dei quanti. Naturalmente ogni particella ha la sua lunghezza d’onda Compton: quella del protone, ad esempio, vale 1,32 · 10–15 m. Il Δλ massimo si ha per θ = 180°, il cosiddetto “back scattering”, com’è logico, perchè in tal caso la perdita di energia è massima da parte del quanto di luce. Nel 1925 i tedeschi Walther Bothe (1891-1957) e Hans Wilhelm Geiger (1882-1945) dimostrarono che fotoni ed elettroni sono emessi simultaneamente nell’effetto Compton.

Se gli elettroni sono fortemente legati nella materia, lo scattering Compton è relativamente debole, ma per raggi X duri (cioè molto energetici) esso diviene la principale causa di attenuazione e diffusione della radiazione nella materia; ne deve tenere conto accuratamente chi progetta degli schermi antiradiazioni per impianti nucleari o per centri di medicina nucleare.

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. Albert Einstein, Emissione e trasformazione della luce, da un punto di vista euristico, tratto da Teoria dei quanti di Luce, Edizioni Newton Compton
  2. Paul A.Tipler, Invito alla fisica, Edizioni Zanichelli
  3. Mario Gliozzi, Storia della fisica, Edizioni Bollati Boringhieri
  4. Amici della Scienza
  5. ” La fisica di Amaldi “, vol. 3, Elettromagnetismo, fisica atomica e subatomica, ed. Zanichelli, 2012, cap. 13, la teoria quantistica, pag. 416.
  6. Effetto Compton, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze
  7. La fisica quantistica – parte 1 – L’effetto Compton, su manentscripta.wordpress.com
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