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Derivazione dell’equazione di campo di Einstein

L’equazione di campo di Einstein è l’equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Essa descrive la curvatura dello spazio-tempo in funzione della densità di materia, dell’energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore energia-impulso.

equazione di campo di Einstein

L’equazione è stata al centro di una polemica di priorità tra Einstein e il matematico David Hilbert, risolta dopo parecchio tempo a favore di Einstein.

Una via alternativa per determinare l’equazione di Einstein è attraverso il principio di minima azione. Deriveremo le equazioni di Einstein nel vuoto e quindi in presenza della materia usando l’approccio variazionale .

Azione nel vuoto

Cerchiamo prima un’azione S per la gravitazione che porti alle equazioni di campo della relatività generale in assenza di materia ed energia (nel vuoto), cioè qualcosa del tipo:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 1

dove L è una densità scalare di Lagrange e d4V è l’elemento di 4-volume. Abbiamo quindi bisogno sia di uno scalare L che di un elemento 4-volume.

L’elemento a 4-volume è il più semplice: ricordiamo che in un sistema di coordinate di Minkowsky locale x α ‘ , l’elemento d4V = dx 0′ dx 1 ‘ dx 2′ dx 3 ‘ . Se il determinante Jacobiano J α’ β che trasforma ad un sistema generale di coordinate x β , è positivo avremo:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 2

Si scopre tuttavia che il tensore metrico nel sistema di coordinate generale è

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 3

in modo che se definiamo g come determinante della matrice 4×4 gγδ , allora abbiamo g = – (det J) 2 , in modo che det J = √-g. Vediamo quindi che l’elemento di 4-volume è:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 4

La Lagrangiana L più semplice è una funzione scalare della metrica gαβ e delle sue derivate ​​è ll scalare R di Ricci, che può essere ottenuto dal tensore di Riemann contraendo due volte gli indici.

Il nostro Lagrangiano quindi è L = R. Ipotizziamo che l’azione di Einstein-Hilbert potrebbe essere definita come:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 5

Nota : questo integrale viene preso su tutto lo spazio-tempo se converge e, in caso contrario, S può ancora essere creato integrando su una regione arbitrariamente grande ma comunque compatta; questo produrrà comunque le equazioni di campo.

Derivazione dell’equazione di Einstein dall’azione di Einstein-Hilbert

Come sappiamo dal principio della minima azione, la variazione di azione richiede che δS = 0

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 6

Si dimostra che la Variazione del determinante metrico assume la forma

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 7

Quindi:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 8

Impostando δS = 0, e dato che δgμν è totalmente arbitrario, otteniamo le equazioni del campo di Einstein sotto vuoto

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 9

se e solo se siamo in grado di dimostrare che il secondo membro vale 0, cioè dobbiamo dimostrare che:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 10

Ricordiamo innanzitutto l’espressione del tensore di Riemann:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 11

Contraendo questo tensore sul primo e terzo indice (impostiamo σ = α) otteniamo il tensore di Ricci Rμν :

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 12

Quindi differenziando avremo:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 13

I primi due termini di questa espressione suggeriscono che potrebbe trattarsi della differenza tra due derivate ​​covarianti. Dimostriamo che è così.

Sappiamo che le derivate ​​covarianti sono formate dalle seguenti parti:

  • la derivata ​​parziale del tensore
  • si aggiunge un termine Γαγβ per ciascun indice superiore
  • si sottrae un termine Γ γαβ per ciascun indice inferiore

In modo tale che possiamo scrivere ogni derivata covariante come la somma di quattro termini (derivata parziale + un termine per l’indice superiore – due termini per i due indici inferiori)

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 14

e

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 15

possiamo quindi verificare che:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 16

che è conosciuta come identità Palatini .

Quindi ora possiamo scrivere sostituendo δRμν con la sua espressione

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 17

Quando consideriamo l’espressione tra parentesi, notiamo che gli indici μ e ν si annullano, in modo tale da rimanere con un tensore di grado 1:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 18

e che di ottenere la seguente espressione integrale:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 19

che “può essere convertito in un integrale di superficie dal teorema della divergenza, che svanisce perché si presume che le variazioni svaniscano sulla superficie di V.”

Quindi finalmente otteniamo le equazioni di campo di Einstein sotto vuoto, cioè descrivono una regione spazio-temporale che è vuota di materia ed energia:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 9

Equazioni di campo completa

Finora ci siamo occupati delle equazioni di campo nel vuoto. Se ora consideriamo uno spazio-tempo che non è vuoto ma contiene materia, dobbiamo aggiungere un secondo termine di azione S M all’azione SEH di Einstein-Hilbert.

Questa nuova azione potrebbe essere scritta come

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 21

Ma possiamo riscrivere SEH in una forma leggermente diversa:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 22

in modo che variando l’intera azione si ha:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 23

Semplificando avremo:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 24

Il tensore energia impulso T μν può essere scritto come:

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 25

e facendo la sostituzione con k = c 4/2 (8πG)  si ricava l’equazione di Einstein che presenta la curvatura dello spazio-tempo sul lato sinistro e la densità di energia sul lato destro

Derivazione dell'equazione di campo di Einstein 26

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. Charles W. MisnerKip S. Thorne e John Archibald Wheeler, Gravitation, San Francisco, W. H. Freeman, 1973, ISBN 978-0-7167-0344-0. Chapter 34, p. 916.
  2. Einstein Relatively Easy
  3. Introduzione ai tensori: covarianza e controvarianza
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L'equazione di campo di Einstein è l'equazione fondamentale della teoria della relatività generale. Essa descrive la curvatura dello spazio-tempo in funzione della densità di materia, dell'energia e della pressione, rappresentate tramite il tensore energia-impulso.
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