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Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto?

Fino a meno di un secolo fa, quasi tutti i cosmologi credevano in un universo eterno, che sarebbe durato per sempre senza cambiamenti significativi. Tuttavia, la scoperta ad opera di Edwin Hubble che l’universo è in espansione, e che quindi ha avuto un inizio, ha reso pressante stabilire se esso avrà o meno una fine. A questo punto, le ipotesi sul destino remoto del cosmo si possono ridurre a due sole alternative.

L’espansione continuerà in eterno? Oppure, per effetto proprio dell’attrazione gravitazionale fra le galassie e gli ammassi di galassie, essa è destinata a far giungere l’universo a una dimensione massima, dopo la quale ricomincerà a decrescere? Pensiamoci bene: ciò significa chiedersi se l’universo può tornare a chiudersi su sé medesimo, andando a concentrarsi in quella stessa singolarità dalla quale è nato.

Le due alternative prendono il nome rispettivamente di “universo aperto” e di “universo chiuso” (tra poco vedremo che ve ne è una terza, quella dell'”universo piatto”). Esse dipendono chiaramente dal confronto tra la velocità dell’espansione e la densità della materia dispersa nello spazio, dalla quale dipende l’interazione gravitazionale che può “richiudere” l’universo.

Quale che fosse l’intensità iniziale dell’espansione, la gravitazione é una forza estremamente debole, come ammetteva già Mago Merlino, e può essere in grado di rallentare l’espansione fino al punto di arrestarla solo se nell’Universo c’é una quantità sufficiente di materia. Viene chiamata densità critica dell’universo il valore minimo necessario affinché l’attrazione gravitazionale arresti l’espansione e riporti il cosmo al punto di partenza.

Come calcolare tale densità critica? Consideriamo un ammasso di galassie, che per semplicità avrà simmetria sferica. Indicando con ρ la densità della materia, la massa totale M del sistema sarà espressa dalla semplice formula:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 1

Fissiamo ora la nostra attenzione su una galassia di massa m, localizzata sulla superficie della suddetta sfera. L’energia potenziale da essa posseduta nel campo gravitazionale dell’ammasso sarà pari a:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 2

Ora, per la Legge di Hubble, la galassia considerata si allontana con velocità v = H r, per cui la sua energia cinetica sarà pari a:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 3

Di conseguenza, l’energia meccanica totale posseduta dalla galassia che si sta allontanando è data dalla somma delle due ultime espressioni:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 4          (1)

Quest’energia, come sappiamo, resta costante durante il moto. Ora:

  1. a) se Etot> 0, l’energia cinetica prevale sull’energia potenziale gravitazionale, e la galassia considerata (così come tutte le altre dell’ammasso) si allontana sempre più dalle altre senza mai tornare indietro. L’universo è aperto.
  2. b) se Etot< 0, l’energia potenziale gravitazionale prevale sull’energia cinetica, e quindi, per effetto della gravità, la galassia considerata non potrà mai abbandonare l’ammasso. L’universo è chiuso.
  3. c) se Etot= 0, la distribuzione della materia è tale che le galassie dell’ammasso si trovano in una sorta di equilibrio tra espansione ed attrazione gravitazionale. Si tratta di una situazione limite in cui l’espansione tende a zero solo dopo un tempo virtualmente infinito, la velocità diminuisce fino ad andare asintoticamente a zero, e si parla di universo piatto.

Osserviamo che la (1) può essere riscritta così, mettendo in evidenza alcuni termini:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 5         (2)

Generalizziamo il discorso all’intero universo, in modo che ρ rappresenti la densità universale, e fissiamo la nostra attenzione sul rapporto 3 H2 / 8 π G. Esso ha le dimensioni di una densità:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 6

Essa è proprio la densità critica ρC che stiamo cercando, e che quindi ha l’espressione:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 7         (3)

Infatti, in tal modo la (2) diventa:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 8

Di solito, anziché della densità critica ρC, ci si serve nei calcoli di un parametro adimensionale, il parametro di densità Ω, definito come il rapporto tra la densità effettiva dell’universo e la densità critica:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 9

per cui la (2) in definitiva diventa:

  1. a) Se Ω> 1Etot > 0 e l’universo è aperto;
  2. b) se Ω< 1Etot > 0 e l’universo  è chiuso;
  3. c) se Ω è esattamente pari a 1Etot = 0 e l’universo è piatto.
universo aperto chiuso piatto
Universo aperto, chiuso e piatto

Dunque la (3) ci fornisce proprio la densità critica da noi cercata! Essa può essere definita come il valore della densità dell’universo in corrispondenza del quale la velocità di fuga delle galassie risulta pari alla velocità dedotta dalla costante di Hubble.

Sostituiamo i valori oggi accettati per queste costanti. In una lezione precedente si è detto che H  = (71,0 ± 2,5) km/s per Megaparsec, e siccome un Megaparsec misura circa 106 x 3,26 x 9,464 x 1012 Km = 30,85 x 1021 m, si ha:

Cosmolgia: universo aperto, chiuso o piatto? 10

Questo valore corrisponde a una densità di non più di cinque atomi di idrogeno per ogni metro cubo di spazio. Ma quanto vale di preciso Ω, e quindi ρ?

A questa domanda gli scienziati cercano di rispondere da mezzo secolo a questa parte; purtroppo, però, la risposta é quanto mai incerta.

Se la materia esistente nell’universo fosse sufficiente a raggiungere la densità critica, l’universo potrebbe richiudersi; in un tempo imprecisato l’espansione dovrebbe rallentare al punto da arrestarsi, per poi invertire il senso di marcia, cosicché le Galassie finirebbero per piovere l’una sull’altra, concentrandosi tutte verso un unico punto.

Avverrebbe insomma quello che gli astrofisici chiamano il Big Crunch: l’aumento di densità farebbe aumentare il campo di radiazione, e quindi la temperatura; le galassie e le stelle si disgregherebbero, le forze tornerebbero a riaccoppiarsi mano a mano che l’energia cresce, e alla fine tutto tornerebbe al punto da cui tutto è cominciato: una singolarità in cui si concentrerebbe tutta la massa e tutta l’energia dell’Universo, a densità e temperatura inimmaginabili.

Giunti a questo punto, non vediamo ragione perché l’universo non dovrebbe riesplodere nuovamente in un secondo Big Bang, pronto a ricostruire un nuovo universo, magari più bello di quello di prima.

É la dottrina dell’eterno ritorno, che immagina il mondo come un continuo prodursi e disfarsi, in una sequenza infinita. Nella civiltà greco-romana, essa fu propugnata dai riti orfici, per i quali il tempo si ripeteva succube del fato, come se fosse la ruota in cui tutti gli esseri eternamente rinascono, muoiono e si ricompongono allo stato originale.

L’eterno ritorno poi è un concetto cardine della filosofia indiana e della filosofia buddhista, dove viene chiamato Samsāra e rappresentato con una ruota, che solo il nirvana può spezzare. Secondo le dottrine indù ci troveremmo nel periodo detto Kali-Yuga, la quarta fase di un ciclo più lungo chiamato Mahâ-Yuga.

I quattro periodi secondari detti Yuga sono Krita-Yuga, Tréta-Yuga, Dwâpara-Yuga e l’attuale Kali-Yuga; da notare la corrispondenza con le quattro età dell’antichità greco-romana: l’età dell’oro, dell’argento, del bronzo e del ferro. L’idea dell’eterno ritorno era presente anche nelle civiltà precolombiane d’America, fondata sulla ciclicità delle ere cosmiche.

Con riferimento invece ai regimi politici, l’eterno ritorno venne descritto da Platone e da Polibio, e poi espresso da Giambattista Vico (1668-1744). L’eterno ritorno fu propugnato anche da varie correnti della Massoneria e dall’attuale New Age, che parla di ciclicità delle ere e in particolare del passaggio imminente dall’Età dei Pesci all’Età dell’Acquario, ritenuta una nuova età dell’oro.

Samsāra
Rappresentazione artistica tradizionale del Samsāra

La stima della massa universale fatta dai cosmologi lascia però poche speranze che l’universo possa “richiudersi”: la densità stimata dell’universo osservabile oscilla sui 10–30 g/cm3, ed è quindi appena un decimo della densità critica necessaria a chiudere il nostro cosmo.

Alcuni fisici hanno allora sostenuto che particelle considerate senza massa nel Modello Standard, come il neutrino, abbiano in realtà una piccola massa a riposo, compresa fra un centomillesimo ed un decimillesimo di quella dell’elettrone, la più leggera particella la cui massa é sinora stimabile con un certo grado di sicurezza.

Massa piccolissima, é vero, ma i neutrini nel cosmo potrebbero essere tantissimi, dato che li produce una gran quantità di reazioni nucleari; e così, grazie ad essi, il Cosmo potrebbe essere chiuso. Le recenti misurazioni, come quelle dell’esperimento giapponese detto SuperKamiokande, fanno però pensare che la massa del neutrino non possa superare gli 0,05 eV/c2, contro i 511.000 eV/c2 dell’elettrone, corrispondenti ad appena 10–37 Kg; ed allora, per quanto numerosi siano i neutrini dell’universo, essi non saranno mai sufficienti a richiuderlo.

Ma in soccorso di coloro che credono ancora nell’eterno ritorno e nella possibilità di un universo ciclico arrivò la speranza dell’esistenza di una notevole quantità di materia invisibile, che i nostri telescopi non riescono a captare, ma i cui effetti gravitazionali si fanno sentire anche sulla materia ordinaria. Stiamo parlando di un’altra delle grandi questioni irrisolte della cosmologia moderna: l’esistenza della materia oscura.

Perché un universo a geometria curva può mettere in crisi l’intera cosmologia contemporanea?

Il 4 novembre 2019 è stato pubblicato su Nature un articolo dal titolo molto significativo: Planck evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology (evidenze di Planck per un universo chiuso e possibile crisi della cosmologia). Il lavoro, con firma di E. Di Valentino, A. Melchiorri [1] e J. Silk, si basa sull’analisi dei dati rilasciati dal satellite Planck nel 2018 ed ha profonde implicazioni sulle nostre attuali conoscenze cosmologiche, poiché suggerisce che le più recenti misure siano compatibili con un universo curvo, anziché piatto come si era ritenuto finora.

universo

Che forma, o meglio, che proprietà geometriche ha l’universo? Questa domanda, posta nella sua accezione moderna, affligge i cosmologi da decenni, almeno dagli anni Venti, ovvero da quando il matematico russo Aleksandr Friedman trovò una soluzione alle equazioni della Relatività generale di Einstein in grado di descrivere i possibili scenari evolutivi del cosmo.

Dato uno spazio tridimensionale, è concettualmente molto semplice capire come è fatta la sua geometria. È sufficiente infatti considerare tre punti molto lontani e congiungerli in modo da formare un triangolo. Se la somma degli angoli interni del triangolo è pari a 180 gradi, lo spazio è piatto, la geometria euclidea.

Ciò costituisce una proprietà intrinseca dello spazio stesso: disegnare un triangolo su un foglio di carta ben schiacciato su un tavolo ci garantisce sempre che il risultato sia pari all’angolo piatto. Se la somma degli angoli interni supera i 180 gradi, si dice che l’universo ha una curvatura positiva, cioè si richiude in sé stesso, come una sfera o un pallone.

Se il totale è invece inferiore a 180 gradi, allora l’universo è negativamente curvo, aperto, con aspetto simile a quello di una sella.

Figura 1. Tre tipi di spazi bidimensionali, a curvatura positiva, negativa e nulla partendo da sinistra.
Figura 1. Tre tipi di spazi bidimensionali, a curvatura positiva, negativa e nulla partendo da sinistra.

Un esperimento ideale che si pone l’obiettivo di descrivere la geometria del cosmo a grande scala, potrebbe consistere nella stima dell’ampiezza degli angoli di un’ipotetica figura individuata da tre galassie diverse ed estremamente lontane ma, operativamente, si tratta di una misura troppo imprecisa da compiere nella limitata porzione di universo accessibile ai nostri strumenti.[2] Occorre tentare un approccio differente, che necessita di una breve parentesi teorica.

Dalla teoria della Relatività generale di Einstein è noto come la materia – o meglio ancora l’energia – sia in grado di curvare lo spazio-tempo. La manifestazione fisica di quest’aspetto geometrico indotto dalla presenza di una massa-energia è la forza di gravità. Una valutazione globale delle proprietà dello spazio-tempo dovrà pertanto tenere conto di tutti i contributi energetici disponibili, siano essi di materia, di radiazione o di altra natura.

Si dimostra che se la densità di energia – ovvero la quantità di energia disponibile in un certo volume – supera un determinato valore critico, dipendente dal tempo e combinazione di alcune importanti costanti fisiche, allora l’universo si ripiega in sé stesso, risultando chiuso. Se la densità è inferiore alla densità critica, abbiamo a che fare con uno spazio aperto, se invece la eguaglia, allora esso è geometricamente piatto e possiamo così tracciare il terzo lato di un immaginario triangolo con la certezza di non avere spiacevoli sorprese durante le misure angolari.[3]

Il modello cosmologico attualmente in voga, tanto da essere assunto come modello standard della cosmologia, è denominato ΛCDM (Lambda-Cold Dark Matter) e, come ricorda il nome, prevede un universo costituito al 69% da costante cosmologica e al 26% da materia oscura nella sua accezione fredda, nel senso che è composta da particelle molto pesanti che si muovono a velocità assai più basse di quella della luce.

La materia con cui abbiamo familiarità tutti i giorni, cioè quella costituita da combinazioni di elementi della tavola periodica, da atomi, protoni e quark, rappresenta il restante 5%.

Il modello ΛCDM assume inoltre un universo piatto. A parte il dettaglio di non conoscere la vera natura di circa il 95% della composizione totale del cosmo[4], questo modello è suffragato da tutta una serie di evidenze osservative che hanno reso necessaria prima l’esistenza di materia oscura e costante cosmologica, per poi circoscriverne le relative abbondanze.

Una buona parte delle informazioni cosmologiche in nostro possesso deriva dallo studio della Radiazione cosmica di fondo. Si tratta dell’impronta lasciata appena l’universo si è raffreddato abbastanza da permettere agli elettroni di ricongiungersi ai nuclei atomici dai quali erano separati a causa dell’elevata temperatura.

Secondo la meccanica quantistica, un elettrone legato ad un atomo può assorbire energia solo a valori ben definiti, mentre invece la sua controparte libera può interagire con qualsiasi fotone esso incontri. Nell’universo caldo, precedente alla Ricombinazione, i fotoni primordiali venivano continuamente deviati dagli urti con gli elettroni liberi e perdevano così la loro originaria energia e direzione (un’ipotetica immagine di questo stadio dell’universo sarebbe colorata in modo completamente omogeneo).

All’età di 300 000 anni, l’universo è divenuto per la prima volta permeabile dalla luce, trasparente ai fotoni che, da quel momento in poi, lo hanno attraversato diritti ed indenni, senza rimbalzare continuamente contro le particelle di materia. Questa impronta fossile ha da allora viaggiato ininterrottamente fino ad essere rilevata, sotto forma di un segnale a microonde, dai nostri strumenti.

La radiazione cosmica di fondo ci regala una fotografia di un universo estremamente isotropo, uguale a sé stesso in tutte le direzioni, fatto che costituisce una importante verifica a-posteriori del Principio cosmologico, secondo cui l’universo è omogeneo e isotropo a grande scala e non esistono in esso delle posizioni privilegiate. Le lievi anisotropie presenti rivelano, punto per punto, l’esistenza di piccole fluttuazioni rispetto alla temperatura media, fluttuazioni dell’ordine di una parte su centomila.

Figura 2. Mappa delle anisotropie del fondo cosmico a microonde, realizzata dal satellite Planck nel 2013.
Figura 2. Mappa delle anisotropie del fondo cosmico a microonde, realizzata dal satellite Planck nel 2013.

L’analisi delle anisotropie è condotta a diverse scale angolari, ognuna delle quali nasconde processi fisici ben diversi, scandagliando così il cielo più e più volte con diverse risoluzioni fino a soffermarsi sui dettagli più fini.

Tuttavia, le misure del satellite Planck interpretano le proprietà delle anisotropie alla luce di un modello cosmologico di riferimento per cui, la variazione di alcuni parametri dello stesso, come densità, curvatura ecc. porta a ridisegnare le caratteristiche angolari attese dell’intero fondo cosmico a microonde. L’osservazione è in tal senso necessaria a discriminare tra modelli alternativ, iescludendo quelli che sono frutto di una qualche combinazione di parametri che non trova riscontro con la realtà.

A titolo di esempio, la figura 3 mostra come una diversa geometria sia in grado di modificare il pattern di temperatura del fondo cielo. Le anisotropie, a parità di dimensioni fisiche, appaiono ingrandite in un universo geometricamente chiuso e rimpicciolite in uno aperto.

Figura 3: effetto della geometria dell’universo sulle dimensioni angolari delle anisotropie di fondo cosmico.
Figura 3: effetto della geometria dell’universo sulle dimensioni angolari delle anisotropie di fondo cosmico.

Come un cuoco che rimedia alla troppa sapidità della pasta aggiungendo altra acqua nella pentola, questo effetto può essere aggiustato modificando il valore di altri parametri e constanti fisiche, col risultato che, dal punto di vista delle misure di fondo cosmico, sono contemporaneamente accettabili sia modelli che prevedono un universo piatto, sia modelli che prevedono un universo a curvatura positiva.[5]

Per comprendere il lavoro di Di Valentino, Melchiorri e Silk, è necessario un ultimo ingrediente: il lensing gravitazionale. La Relatività generale prevede che i raggi luminosi sottoposti a un campo gravitazionale non si propaghino in linea retta, ma subiscano una deflessione che è direttamente proporzionale alla massa della “lente” che si frappone tra sorgente ed osservatore. Così, la luce di una sorgente lontana, emessa in direzione della Terra, può incontrare o meno delle concentrazioni di massa checurvando localmente lo spazio-tempoproducono un effetto analogo a quello che le lenti producono in ottica, ovvero distorsioniingrandimentimoltiplicazioni dell’immagine e della sua luminosità.

Analogamente a qualsiasi altro raggio di luce, anche la radiazione a microonde prodotta dall’universo primordiale viene distorta e deviata dalla presenza di massa, e tale effetto risulta visibile alle scale angolari più piccole, ovvero osservando i dettagli più fini misurati da Planck. Così, l’entità del lensing può essere quantificata in maniera opportuna e ciò rompe la degenerazione geometrica che rendeva possibile la coesistenza di universi piatti e positivamente curvi.

Figura 4: fondo cosmico di radiazione che ha subito lensing gravitazionale (a sinistra) confrontato con campione imperturbato. (Hu & Okamoto, 2001)
Figura 4: fondo cosmico di radiazione che ha subito lensing gravitazionale (a sinistra) confrontato con campione imperturbato. (Hu & Okamoto, 2001)

Il contributo scientifico dell’articolo consiste nella valutazione della distorsione gravitazionale, attribuibile ad un universo con curvatura leggermente positivaSi tratta di un risultato che introduce una profonda contraddizione nel modello ΛCDM, in quanto il medesimo satellite Planck ha fornito moltissime misure ad esso concordi, che propendono decisamente per uno scenario a geometria piatta, mentre altre misure realizzate in maniera indipendente – come quella della costante di Hubble (che ci dice in sostanza con che velocità le galassie distanti si allontanano le une dalle altre per effetto dell’espansione cosmica) ad opera di Riess et al.[6] – si discostano da quelle di Planck pur continuando a preferire un universo piatto.

Allo stato attuale è quindi immediato ipotizzare due scenari. Il primo è la presenza di errori sistematici ad oggi sconosciuti nelle più moderne osservazioni i quali, una volta individuati e corretti, potrebbero forse riassorbire le incompatibilità riscontrate oppure, secondo una eventualità enormemente più suggestiva, la spiegazione risiederebbe nella necessità di una nuova fisica che vada oltre il modello ΛCDM e le ipotesi attuali sulla geometria e la composizione dell’universo.

Note

[1] Alessandro Melchiorri è professore associato di Astronomia e Physical Cosmology all’Università La Sapienza di Roma.

[2] Attualmente le distanze delle galassie molto lontane si misurano per mezzo del flusso luminoso generato da gigantesche esplosioni di supernove. Dalla loro conoscenza è poi possibile, in maniera indiretta, ottenere preziose informazioni circa la curvatura dell’intero universo.

[3] Si badi che la geometria dell’universo non ha un’importanza puramente estetica, ma ha profonde ripercussioni sul suo destino ultimo. I modelli di Friedmann basati unicamente su materia e curvatura prevedono che un universo aperto si espanda all’infinito, mentre uno chiuso possa arrestare la propria espansione per ricollassare nuovamente in un unico punto, in una spettacolare inversione temporale del Big Bang.

[4] Da molti anni è in corso la ricerca di particelle che rispondano ai requisiti previsti per la materia oscura. Si tratta di particelleprive di carica,che quindi non interagiscono attraverso forze elettromagnetiche, ma solo tramite gravità. Per spiegare la costante cosmologica, la quale fornisce una pressione in grado di accelerare l’espansione dell’universo, si ricorre in genere ad una energia oscura, che secondo l’ipotesi più discussa sarebbe coincidente con l’energia del vuoto.

[5] E. Di Valentino, A. Melchiorri, J. Silk, “Planck evidence for a closed Universe and a possible crisis for cosmology”, Nature astronomy, 4 Novembre 2019.

[6] Riess et al., “Large Magellanic Cloud Cepheid Standards Provide a 1% Foundation for the Determination of the Hubble Constant and Stronger Evidence for Physics beyond ΛCDM”, The Astrophysical Journal 876 (2019), May 2019.

 

Riferimenti e approfondimenti

  1. Stephen HawkingLa teoria del tutto. Origine e destino dell’Universo
  2. Stephen Hawking, Dal Big Bang ai buchi neri. Breve storia del tempo
  3. Roger PenroseDal Big Bang all’eternità
  4. Paul J. Steinhardt, Neil TurokUniverso senza fine. Oltre il big bang
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